[演習]繰り返しスイッチを切り替えたときに収束する電位1

分野別
問題

図のように,電圧$V_{0}[\rm V]$,$2V_{0}[\rm V]$の電池$\rm E_{1}$ , $E_{2}$,電気容量がいずれも$C[\rm F]$のコンデンサー$\rm C_{1}$,$\rm C_{2}$,抵抗値$R[\rm \Omega]$の抵抗R,スイッチ$\rm S_{1}$,$\rm S_{2}$が接続されている.最初,スイッチ$\rm S_{1}$,$\rm S_{2}$は開いていて,$\rm C_{1}$,$\rm C_{2}$には電荷が蓄えられていなかった.
はじめの状態から,$\rm S_{1}$を閉じて十分時間が経った後,$\rm S_{1}$を開き,$\rm S_{2}$を閉じた.その後十分時間が経った後,$\rm S_{2}$を開いて,$\rm S_{1}$を閉じた.さらに,十分時間が経った後に$\rm S_{1}$を開いて,$\rm S_{2}$を閉じた.これを何度も繰り返していくと,$\rm C_{2}$の両端の電圧はある有限な値に近づいていった.その値を求めよ.

<解答>

NEKO
NEKO

$\rm C_{2}$の電位の基準を0としましょう.(下図の青色部分)

スイッチ$\rm S_{1}$を閉じて十分時間が経過すると,$\rm C_{1}$の上側の極板の電位は$3V_{0}$となります.(下図の赤色部分)

スイッチ$\rm S_{2}$を閉じる前,スイッチ$\rm S_{2}$の左側の電位が高く(電位$3V_{0}$),右側が低い状態です(電位$0$).

スイッチ$\rm S_{1}$を開いた後にスイッチ$\rm S_{2}$を閉じると電位が高いほうから電位が低い方に電流が流れ,コンデンサー$\rm C_{2}$に電荷が蓄えられ,$\rm C_{2}$の上側極板の電位が少しだけ$0$より高くなります.

NEKO
NEKO

下図はスイッチ$\rm S_{2}$を閉じてから十分時間が経過した状態です.

この後,$\rm S_{2}$を開きます.すると,スイッチ$\rm S_{1}$の左側の電位(赤色)の方が右側の電位(黄緑)より高いため,スイッチ$\rm S_{1}$を閉じることで,左から右に電流が流れ,再びコンデンサー$\rm C_{1}$に電荷が蓄えられます.

NEKO
NEKO

すると,$\rm C_{1}$の上側極板の電位は再び$3V_{0}$となります.

このとき,スイッチ$\rm S_{2}$の左側の電位(赤色)の方が右側(黄緑)の電位が高いため,スイッチ$\rm S_{1}$を開いた後$\rm S_{2}$を閉じるとやはり電流は左から右に流れ,さらに$\rm C_{2}$に電荷が蓄えられます.

1回目にスイッチ$\rm S_{2}$を閉じたときより2回目に閉じた後の方が$\rm C_{2}$に蓄えられている電荷が大きいため,赤色と緑色の電位差は小さくなっています.

このように,操作を繰り返し行っていくと,スイッチ$\rm S_{2}$の左側と右側の電位差はだんだんと小さくなっていきます

NEKO
NEKO

繰り返し操作を行っていくと,スイッチ$\rm S_{2}$の両端の電位差がなくなります.

電位差がないと,スイッチ$\rm S_{2}$を閉じても電流は流れず,$\rm C_{2}$の電荷はこれ以上変化しません.

電荷が変化しないので,$\rm C_{2}$の上側極板の電位も変化しません.

したがって,複数回操作を行うと,$\rm C_{2}$の電圧は$3V_{0}$(答)となる.

(上図のの電位差)

コメント

  1. […] […]

  2. […] 今回はこちらで扱った問題の別解です. […]