[演習]誘電率が与えられるか,比誘電率が与えられるか

コンデンサー
PHYさん
PHYさん

誘電体の挿入によって,電気容量を求める問題はいくらかあります.

その際,「誘電率」が与えられるか,「比誘電率」が与えられるかをよく注意して問題を解いてください.

誘電率と比誘電率についてのまとめを確認したら,さっそく問題を解いてみましょう.

問題は2種類あります.

誘電体の挿入

極板面積$S$の平板A,Bを距離$d$だけ隔てて固定しておく.

真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$とすると,極板A,Bに何も入っていない場合の電気容量$C_{0}$は次のようになる.

$C_{0}=\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d}$

このコンデンサーに比誘電率$\varepsilon_{\rm r}$,誘電率$\varepsilon$の誘電体で満たすとき,電気容量$C$は次のようになる.

$\eqalign{C&=\varepsilon\dfrac{S}{d}\\&=\varepsilon_{\rm r}\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d}\\&=\varepsilon_{\rm r}C_{0}}$

また,$\varepsilon_{0}$,$\varepsilon$,$\varepsilon_{\rm r}$は次の関係がある.

$\varepsilon_{\rm r}=\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}$

問題1

図のように,極板の距離$d$,面積$S$のコンデンサーを同形の誘電体で満たした.真空の誘電率$\varepsilon_{0}$として,次の問いに答えよ.

(1) 誘電体の誘電率が$\varepsilon$のとき,電気容量$C$を求めよ.

(2) 誘電体の比誘電率が$\varepsilon_{r}$のとき,電気容量$C$を求めよ.

<解答>

(1) コンデンサーの電気容量の式より

$C= \varepsilon \dfrac{S}{d}$ (答)

(2)  コンデンサーの電気容量の式より

$C= \varepsilon_{r}\varepsilon_{0} \dfrac{S}{d}$ (答)

NEKO
NEKO

(1)は$\varepsilon_{0}$が$ \varepsilon$に変わったと考えるといいね.

あと,(2)は

$C= \varepsilon_{r}\times \varepsilon_{0} \dfrac{S}{d}$

と元のコンデンサーの$\varepsilon_{r}$倍になったと考えるといいね.

問題2

図のように,電気容量$C_{0}$のコンデンサーを同形の誘電体で満たした.このとき次の問いに答えよ.

(1)  真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$ とし,誘電体の誘電率が$\varepsilon$のとき,電気容量$C$を求めよ.

(2) 誘電体の比誘電率が$\varepsilon_{r}$のとき,電気容量$C$を求めよ.

<解答>

(1) 真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$,極板面積を$S$,極板間距離を$d$とすると

$C_{0}= \varepsilon_{0} \dfrac{S}{d}$

より

$ \dfrac{S}{d}=\dfrac{C_{0}}{ \varepsilon_{0} }$

そこで,コンデンサーの電気容量の式より

$\eqalign{C&=\varepsilon\dfrac{S}{d}&= \varepsilon \cdot \dfrac{C_{0}}{ \varepsilon_{0} } }$ (答)

(2) 比誘電率$ \varepsilon _{r}$の誘電体で満たすので,電気容量は$\varepsilon_{0}$倍されるから

$C= \varepsilon_{r}C_{0} $ (答)

NEKO
NEKO

誘電率か,比誘電率のかはよく注意して読まないとね.

そもそも,比誘電率は無次元で,誘電率は$[\rm F/m]$であることも考えるといいよ.

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