誘電体の挿入によって，電気容量を求める問題はいくらかあります．
その際，「誘電率」が与えられるか，「比誘電率」が与えられるかをよく注意して問題を解いてください．
誘電率と比誘電率についてのまとめを確認したら，さっそく問題を解いてみましょう．
問題は2種類あります．
極板面積$S$の平板A，Bを距離$d$だけ隔てて固定しておく．
真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$とすると，極板A，Bに何も入っていない場合の電気容量$C_{0}$は次のようになる．
$C_{0}=\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d}$
このコンデンサーに比誘電率$\varepsilon_{\rm r}$，誘電率$\varepsilon$の誘電体で満たすとき，電気容量$C$は次のようになる．
$\eqalign{C&=\varepsilon\dfrac{S}{d}\\&=\varepsilon_{\rm r}\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d}\\&=\varepsilon_{\rm r}C_{0}}$
また，$\varepsilon_{0}$，$\varepsilon$，$\varepsilon_{\rm r}$は次の関係がある．
$\varepsilon_{\rm r}=\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}$
図のように，極板の距離$d$，面積$S$のコンデンサーを同形の誘電体で満たした．真空の誘電率$\varepsilon_{0}$として，次の問いに答えよ．
(1) 誘電体の誘電率が$\varepsilon$のとき，電気容量$C$を求めよ．
(2) 誘電体の比誘電率が$\varepsilon_{r}$のとき，電気容量$C$を求めよ．
<解答>
(1) コンデンサーの電気容量の式より
$C= \varepsilon \dfrac{S}{d}$ (答)
(2) コンデンサーの電気容量の式より
$C= \varepsilon_{r}\varepsilon_{0} \dfrac{S}{d}$ (答)
(1)は$\varepsilon_{0}$が$ \varepsilon$に変わったと考えるといいね．
あと，(2)は
$C= \varepsilon_{r}\times \varepsilon_{0} \dfrac{S}{d}$
と元のコンデンサーの$\varepsilon_{r}$倍になったと考えるといいね．
図のように，電気容量$C_{0}$のコンデンサーを同形の誘電体で満たした．このとき次の問いに答えよ．
(1) 真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$ とし，誘電体の誘電率が$\varepsilon$のとき，電気容量$C$を求めよ．
(2) 誘電体の比誘電率が$\varepsilon_{r}$のとき，電気容量$C$を求めよ．
<解答>
(1) 真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$，極板面積を$S$，極板間距離を$d$とすると
$C_{0}= \varepsilon_{0} \dfrac{S}{d}$
より
$ \dfrac{S}{d}=\dfrac{C_{0}}{ \varepsilon_{0} }$
そこで，コンデンサーの電気容量の式より
$\eqalign{C&=\varepsilon\dfrac{S}{d}&= \varepsilon \cdot \dfrac{C_{0}}{ \varepsilon_{0} } }$ (答)
(2) 比誘電率$ \varepsilon _{r}$の誘電体で満たすので，電気容量は$\varepsilon_{0}$倍されるから
$C= \varepsilon_{r}C_{0} $ (答)
誘電率か，比誘電率のかはよく注意して読まないとね．
そもそも，比誘電率は無次元で，誘電率は$[\rm F/m]$であることも考えるといいよ．
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