コンデンサー演習2 金属板の挿入 直列型 スイッチは閉じたまま

コンデンサー
問題

起電力$V_{0}$の電源,スイッチ,抵抗と面積$S$の極板A,Bによってつくられた平行平板コンデンサーが上図のように接続されている.

極板A,Bの距離は$d$に固定されており,真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$とする.

なお,空気中での誘電率も真空と同じであるとみなすことができるとしてよい.

スイッチを閉じて十分時間が経つと,コンデンサーに電荷$Q_{0}$が蓄えられることによって,極板A,B間の電場の大きさは$E_{0}$となった.

その後,スイッチを閉じたままゆっくりと,面積$S$,厚さ$\dfrac{d}{3}$の金属板を極板A,Bの中央に極板と平行に挿入した.

このとき,次の問いに答えよ.

ただし,(2)以外の解答には$\varepsilon_{0}$,$d$,$S$,$V_{0}$を用いよ.

(1) 電場の大きさ$E_{0}$を求めよ.

(2) 金属板挿入後に極板A,Bに蓄えれた電荷を$Q_{1}$,$-Q_{1}$とする.このとき,極板Aと金属板の間の電場の大きさおよび金属板と極板Bの間の電場の大きさ$E_{1}$を$Q_{1}$を用いて表せ.

(3) 極板AB間の電位差が$V_{0}$であることを用いて,$E_{1}$を求めよ.

(4) (2)(3)より$Q_{1}$を求めよ.

(5) 金属板挿入後のコンデンサーの電気容量$C_{1}$を求めよ.

(6) 

金属板を挿入する前のBからの距離とコンデンサー内の電場の大きさの関係のグラフ,および,Bからの距離とBを基準とした電位の関係は上図のようであった.金属板を挿入後のグラフをかけ.

<解答>

(1)

NEKO
NEKO

電場の大きさは次の式を用いて,計算しましょう.

電場の電位差の関係

電場の大きさを$E$,距離$\Delta x$の電位差を$\Delta V$とするとき,次の関係が成り立つ.

$E=\left|\dfrac{\Delta V}{\Delta x}\right|$

NEKO
NEKO

電池の電圧とコンデンサーの電圧はともに$V_{0}$なので

$E_{0}=\dfrac{V_{0}}{d}$ (答)

となります.

(2) 

NEKO
NEKO

電池をスイッチをつないだまま,コンデンサーに金属板を挿入すると,コンデンサーの状況が変化することで,蓄えれている電荷が移動する可能性があります.

極板A,Bの電荷の移動とともに,金属板の自由電子も移動して,金属板内部の電場が0となります.

平面に分布されている電荷がつくる電場の大きさの式を利用するとことで,極板と金属板の間の電場を求めていきましょう.

平面に一様に分布した電荷がつくる電場

十分に広い平面に一様な電荷$Q$が分布している.

真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$,平面の面積を$S$とするとき,電場の大きさ$E$は

$E=\dfrac{|Q|}{2\varepsilon_{0}S}$

これは,電場が距離によらず一定であることを意味している.

★ 電場$E_{1}$について

$E_{1}=\dfrac{Q_{1}}{2\varepsilon_{0}S}+\dfrac{Q_{1}}{2\varepsilon_{0}S}-\dfrac{Q_{1}}{2\varepsilon_{0}S}+\dfrac{Q_{1}}{2\varepsilon_{0}S}=\dfrac{Q_{1}}{\varepsilon_{0}S}$

したがって,$E_{1}=\dfrac{Q_{1}}{\varepsilon_{0}S}$ (答)

(3) 

NEKO
NEKO

電池とつないだままなので,極板A,B間の電位差は$V_{0}$となります.

電場と電位差と距離の関係式

$V=Ed$

を用いて立式してみましょう.

★ 極板A,Bの電位差の式

$\eqalign{V_{0}&=E_{1}\cdot \dfrac{d}{3}+0\cdot \dfrac{d}{3}+E_{1}\cdot \dfrac{d}{3}\cr V_{0}&=\dfrac{2E_{1}d}{3}}$

$\therefore$ $E_{1}=\dfrac{3V_{0}}{2d}$

(4)

NEKO
NEKO

(2)で求めた

$E_{1}=\dfrac{Q_{1}}{\varepsilon_{0}S}$

(3)で求めた

$E_{1}=\dfrac{3V_{0}}{2d}$

より,$E_{1}$を消去して$Q_{1}$を求めましょう.

$\dfrac{Q_{1}}{\varepsilon_{0}S}=\dfrac{3V_{0}}{2d}$

$\therefore$ $Q_{1}=\varepsilon_{0}\dfrac{3S}{2d}V_{0}$

(5) 

NEKO
NEKO

電気容量の定義式より,$C_{1}$を求めましょう.

電気容量の定義式(コンデンサーの基本式)

コンデンサーに蓄えられている電荷を$Q$,コンデンサー間の電圧を$V$とすれば,コンデンサーの電気容量$C$は

$C=\dfrac{Q}{V}$

実際は

$Q=CV$

として使うことが多い.

★ 電気容量の式

$C_{1}=\dfrac{Q_{1}}{V_{0}}=\varepsilon_{0}\dfrac{3S}{2d}$

答え:$C_{1}=\varepsilon_{0}\dfrac{3S}{2d}$

(6)

NEKO
NEKO

以上の考察から,電場と電位のグラフは次のようになります.

PHYさん
PHYさん

電池を切った場合との場合と比較して何が異なるのかを考えてみるとよいでしょう.

コメント