図に示すように，半径$a[\rm m]$の円形コイル1が水平に固定されている．その中心を同じにして半径$b[\rm m]$の円形コイル2を円形コイル1と同一水平面上に固定する．$b$は$a$より十分小さく，コイル2を貫く磁束は均一とみなせるものとする．また，コイル2が作る磁場（磁界），コイル以外の回路が作る磁場は無視できるとする．これらのコイルが置かれた場所での透磁率を$\mu_{0}[\rm N/A^{2}]$，円周率を$\pi$とする．
(1) コイル2を貫く磁束$[\rm Wb]$はコイル1を流れる電流$[\rm A]$に比例し，その比例係数$M[\rm H]$は相互インダクタンスとよばれる．$M$を求めよ．
(2) コイル1に時刻$t[\rm s]$における起電力$V=V_{0}\sin\omega t [\rm V]$で表される交流電源を接続した．ただし，$\omega$は角周波数$[\rm rad/s]$である．コイル2には磁場によって変化しない抵抗$R[\Omega]$を接続した．コイル1の自己インダクタンスを$L[\rm H]$とし，コイル2の自己インダクタンスは無視できるとする．設問(1)で求めた相互インダクタンスを$M$とする．このときの，コイル2を流れる電流の振幅$[\rm A]$を$M$，$V_{0}$，$R$，$L$を用いて表せ．
＜解答＞
(1)
円形コイル1に電流を流すとコイル1内部に磁場をつくります．
円形電流が中心につくる磁場の公式を確認しておきましょう．
半径$r[\rm m]$の円形コイルに大きさ$i[\rm A]$の電流が流れているとき，コイルの中心の磁場の大きさ$H[\rm A/m]$は次のようになる．
$H=\dfrac{i}{2r}$
磁場の向きは右ねじの法則にしたがう．
注意：中心の磁場であって，その他の部分はこの公式で表すことができない．
本来なら，上の公式は中心でしか使えない公式ですが，問題文に「$b$は$a$より十分小さく，コイル2を貫く磁束は均一とみなせるものとする．」と書かれているので，この条件を使いましょう．
磁束密度$B[\rm Wb/m^{2}]$と磁場$H[\rm A/m]$は，透磁率を$\mu[\rm N/A^{2}]$とすると
$B=\mu H$
の関係がある．
上図のように，面積$S[\rm m^{2}]$の部分を磁束密度の大きさ$B[\rm Wb/m^{2}]$の磁場が面に垂直な線に対して$\theta$の方向にかかっているとき，この面を貫く磁束$\varPhi$は
$\eqalign{\varPhi&=(B\cos\theta)S\\&=BS\cos\theta}$
となる．
このことから，コイル1に電流$I_{1}$が流れたときのコイル2を貫く磁束$\varPhi_{2}$を調べてみましょう．
★ コイル1に流れる電流$I_{1}$が中心に作る磁場$H_{1}$
$H_{1}=\dfrac{I_{1}}{2a}$
★ コイル1に流れる電流$I_{1}$が中心に作る磁束密度$B_{1}$
$\eqalign{B_{1}&=\mu_{0}H_{1}\\&=\mu_{0}\cdot \dfrac{I_{1}}{2a}\\&=\dfrac{\mu_{0}I_{1}}{2a}}$
★ コイル2を貫く磁束$\varPhi_{2}$
問題文の条件より，コイル1が中心につくる磁場はコイル2内ではどこも同じであるとみなしてよいので，
$\eqalign{\varPhi_{2}&=B_{1}\cdot \pi b^{2}\\&=\dfrac{\mu_{0}I_{1}}{2a}\cdot \pi b^{2}\\&=\dfrac{\pi \mu_{0}b^{2}}{2a}I_{1}}$
さらに，問題文に
「コイル2を貫く磁束$[\rm Wb]$はコイル1を流れる電流$[\rm A]$に比例し，その比例係数$M[\rm H]$は相互インダクタンスとする．」
と書かれているので，相互インダクタンス$M$は
$M=\dfrac{\pi \mu_{0}b^{2}}{2a}$ (答)
(2)
コイル1に$V=V_{0}\sin\omega t[\rm V]$の電圧をかけると，コイル1に電流が流れます．
交流では，最大値と位相に着目しましょう．
● 最大値について
回路素子にかかる電圧の最大値を$V_{0}$，流れる電流の最大値を$I_{0}$，リアクタンス（または抵抗）を$Z$とする．
このとき，次の関係が成り立つ．
$V_{0}=ZI_{0}$
$Z$は回路素子できまる．各周波数を$\omega$として
抵抗値$R$の抵抗のとき，$Z=R$
電気容量$C$のコンデンサーのとき，$Z=\dfrac{1}{\omega C}$
自己インダクタンス$L$のコイルのとき，$Z=\omega L$
● 位相のずれについて
1）電圧に対する電流の位相のずれ
抵抗：位相のずれはなし（オームの法則がいつでも成り立つ）
コンデンサー：$\dfrac{\pi}{2}$進む（電流が先に変化し，遅れて電荷が変化する）
コイル：$\dfrac{\pi}{2}$遅れる（電圧が先に変化し，遅れて電流が変化する）
2)電流に対するで電圧の位相のずれ
抵抗：位相のずれはなし（オームの法則がいつでも成り立つ）
コンデンサー：$\dfrac{\pi}{2}$遅れる（電流が先に変化し，遅れて電荷が変化する）
コイル：$\dfrac{\pi}{2}$進む（電圧が先に変化し，遅れて電流が変化する）
コイル1に流れる電流の最大値$I_{0}(>0)$は，次の関係を満たします．
$\eqalign{|V_{0}|&=\omega LI_{0}\cr I_{0}&=\dfrac{|V_{0}|}{\omega L}}$ $\dots (\ast)$
さらに，コイルに流れる電流は電圧に対して$\dfrac{\pi}{2}$遅れます．
したがって，コイル1に流れる電流$i_{1}$は
$\eqalign{i_{1}&=I_{0}\sin(\omega t-\dfrac{\pi}{2})\\&= -\dfrac{|V_{0}|}{\omega L}\cos\omega t}$
となります．
コイル1の電流が変化することで，コイル2を貫く磁束が変化し，誘導起電力が生じる．
これを相互誘導という．$\varDelta t$の間にコイル1の電流の変化が$\varDelta i$であるとき，コイル2の総誘導起電力の大きさ$V$は，相互インダクタンスを$M$として
$\eqalign{V&=|\lim_{\varDelta t\rightarrow 0}\dfrac{\varDelta \varPhi}{\varDelta t}|\\&=\dfrac{d\varPhi}{dt}}$
★ ファラデーの電磁誘導の法則
$\eqalign{V_{2}&=\dfrac{d\varPhi}{dt}\\&=\dfrac{d}{dt}(-\dfrac{|V_{0}|}{\omega L}\cos\omega t)\\&=-\dfrac{M|V_{0}|}{\omega L}(\omega )\sin\omega t\\&=\dfrac{M|V_{0}|}{L}\sin\omega t}$
したがって，コイル2を流れる電流$i_{2}$は，抵抗について，電流と電圧の位相が変化しないことに注意して，
$i_{2}=\dfrac{M|V_{0}|}{RL}\sin\omega t$
これより，コイル2の電流の振幅は$\dfrac{M|V_{0}|}{RL}$(答)
コメント