ホイートストンブリッジ回路(検流計に電流が流れる向き)

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PHYさん
PHYさん

ホイートストンブリッジ回路の条件は,有名なので知っている人も

多いでしょう.

今回は,ホイートストンブリッジ回路の検流計に電流が流れる場合,抵抗の値によって,どちら方向に電流が流れるのかについての話をします.

ホイートストンブリッジ回路の条件

上図に回路において,スイッチを閉じたときに検流計に電流が流れなかった.

このとき,抵抗$R_{1}$,$R_{2}$,$R_{3}$,$R_{4}$の間に次の関係が成り立つ.

$\dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{R_{3}}{R_{4}}$

($R_{1}R_{4}=R_{2}R_{3}$)

逆に,上の抵抗の関係式が成り立つのであれば,検流計に電流は流れない.

ホイートストンブリッジ回路の検流計に電流が流れる向き

PHYさん
PHYさん

電流の流れる向きは,次のように決まります.

ホイートストンブリッジ回路の検流計に流れる電流の向き

上図の回路において,検流計の内部抵抗や,電池の起電力には無関係に

$R_{1}R_{4}<R_{2}R_{3}$のとき,PからQへ電流が流れる

$R_{1}R_{4}>R_{2}R_{3}$のとき,QからPへ電流が流れる

PHYさん
PHYさん

のちに計算をしますが,次のようなイメージをもっておくとよいでしょう.

NEKO
NEKO

上図では,$R_{2}R_{3}>R_{1}R_{4}$のとき,$R_{2} , R_{3}$それぞれを抵抗が大きいと考えて(実際はそうとは限らないけど)$R_{3}$の抵抗を避けるようにPからQへ流れているんだね.

※ PからQへ流れているだけで$R_{3}$や$R_{2}$の抵抗にも電流は流れます.

PHYさん
PHYさん

はい.では,$R_{1}R_{4}>R_{2}R_{3}$ではどうなるでしょうか.

NEKO
NEKO

$R_{1}$,$R_{4}$を抵抗が大きいと考えて,$R_{4}$を避けるように,$R_{3}$に流れるのかな.

PHYさん
PHYさん

そういうことです.

では,次に,本当にこの条件でいいのかどうかを計算していきましょう.

証明

PHYさん
PHYさん

$R_{1}$に流れる電流を$i_{1}$,$R_{4}$に流れる電流を$i_{4}$,検流計に流れる電流を$I$(P→Qを正の向き)とします.電池の起電力は$V$,検流計の内部抵抗を$r$とします.

このように設定すると,キルヒホッフ第1法則より$R_{2}$に流れる電流は$i_{4}-I$,抵抗$R_{3}$に流れる電流は$i_{1}-I$となります.

ここで,

  • A→P→B
  • A→Q→B
  • A→P→Q→A

の3つのキルヒホッフ則を立てます.

※ Bの電位を基準(0)とし,Aの電位を$V$とします.

★  A→P→B

$V-R_{1}i_{1}-R_{3}(i_{1}-I)=0$

$\eqalign{(R_{1}+R_{3})i_{1}&=R_{3}I+V\cr\\\therefore i_{1}&=\dfrac{R_{3}I+V}{R_{1}+R_{3}} \cdots (\ast)}$

★  A→Q→B

$V-R_{2}(i_{4}-I)-R_{4}i_{4}=0$

$\eqalign{(R_{2}+R_{4})i_{4}&=R_{2}I+V\cr\\\therefore i_{4}&=\dfrac{R_{2}I+V}{R_{2}+R_{4}} \cdots (2\ast)}$

★ A→P→Q→A

$V-R_{1}i_{1}-rI+R_{2}(i_{4}-I)=V$

$-R_{1}i_{1}+R_{2}i_{4}=(r+R_{2})I$ $\cdots (3\ast)$

PHYさん
PHYさん

$(\ast)$,$(2\ast)$を$(3\ast)$に代入して$I$について解きましょう.

$(\ast)$,$(2\ast)$を$(3\ast)$に代入して

$-R_{1}\cdot \dfrac{R_{3}I+V}{R_{1}+R_{3}}+R_{2}\cdot \dfrac{R_{2}I+V}{R_{2}+R_{4}}=(r+R_{2})I$

両辺$(R_{1}+R_{3})(R_{2}+R_{4})$をかけて

$-R_{1}(R_{2}+R_{4})(R_{3}I+V)+R_{2}(R_{1}+R_{3})(R_{2}I+V)=(R_{1}+R_{3})(R_{2}+R_{4})(r+R_{2})I$

PHYさん
PHYさん

展開し,$I$について整理しましょう.

$-R_{1}R_{3}(R_{2}+R_{4})I-R_{1}(R_{2}+R_{4})V+R_{2}^{2}(R_{1}+R_{3})I+R_{2}(R_{1}+R_{3})V=(R_{1}+R_{3})(R_{2}+R_{4})(r+R_{2})I$

$\eqalign{(R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4})V&=(R_{1}+R_{3})\left\{(R_{2}+R_{4})(r+R_{2})-R_{2}^{2}\right\}I+R_{1}R_{3}(R_{2}+R_{4})I\\&=(R_{1}+R_{3})(R_{2}r+R_{4}r+R_{2}R_{4})I+R_{1}R_{3}(R_{2}+R_{4})I}$

ここで,$A= (R_{1}+R_{3})(R_{2}r+R_{4}r+R_{2}R_{4}) >0$,$B= R_{1}R_{3}(R_{2}+R_{4}) $とおくと

$(A+B)I=(R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4})V$

$\therefore I=\dfrac{R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4}}{A+B}V$

NEKO
NEKO

だから,$R_{2}R_{3}>R_{1}R_{4}$のとき,$I>0$で,$R_{2}R_{3}<R_{1}R_{4}$のとき,$I<0$となるんだね!

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