[演習]万有引力の問題1

分野別
問題

図のように,質量$M$の惑星Aとそのまわりをまわっている質量$m$の人工衛星について考える.人工衛星は半径$r$,速さ$v$の等速円運動をしている.惑星Aの質量は人工衛星の質量に比べて十分大きく,静止しているものとして考えることができる.万有引力定数を$G$として,惑星Aの自転は考えないものとする.

(1) $v$を$G$,$r$,$M$を用いて表せ.

(2) 人工衛星の円運動の周期$T$とする.$\dfrac{T^{2}}{r^{3}}$を$G$,$M$を用いて表せ.

(3) 惑星Aと人工衛星の間の万有引力の位置エネルギー$U$を$G$,$r$,$M$,$m$を用いて表せ.ただし,万有引力による位置ネルギーの基準点は無限遠とする.

<解答>

PHYさん
PHYさん

万有引力の大きさについて確認しておきましょう.

万有引力

質量$M$の物体と質量$m$の物体の重心間の距離を$r$とする.万有引力定数を$G$とするとき,万有引力の大きさ$F$は

$F=G\dfrac{Mm}{r^{2}}$

NEKO
NEKO

等速円運動の問題なので,次の2式を立てることを意識しましょう.

等速円運動

等速円運動の問題で立てて欲しい2式

  • 向心方向の運動方程式
  • 周期の式
円運動の加速度

半径$r$,円運動の接線方向の速さを$v$,角速度を$\omega$とすると,向心加速度の大きさ$a$は

$a=\dfrac{v^{2}}{r}=r\omega^{2}$

向心加速度の向きは円運動の中心

★ 向心方向の運動方程式

$m\dfrac{v^{2}}{r}=G\dfrac{Mm}{r^{2}}$

$\therefore v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$(答) $\dots (\ast)$

(2) 

★ 円運動の周期の式

$T=\dfrac{2\pi r}{v}$ $\dots (2\ast)$

NEKO
NEKO

$(\ast)$,$(2\ast)$より,$v$を消去します.

$(\ast)$を$(2\ast)$に代入して

$T=2\pi r\sqrt{\dfrac{r}{GM}}$

両辺2乗して

$T^{2}=4\pi^{2}r^{2}\cdot \dfrac{r}{GM}$

$\therefore \dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}$ (答)

PHYさん
PHYさん

この結果は,ケプラーの第2法則

周期の2乗は長半径の3乗に比例する

の円運動バージョンです.

(3)

万有引力による位置エネルギー

質量$M$と質量$m$の物体の距離を$r$とする.万有引力の位置エネルギーの基準点を無限遠とし,万有引力定数を$G$とすると,万有引力のよる位置エネルギー$U$は

$U=-G\dfrac{Mm}{r}$

★ 万有引力のよる位置エネルギー$U$

$U=-G\dfrac{Mm}{r}$ (答)

コメント

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