[演習]多重極板2

コンデンサー
問題

図のように面積$S$の4枚の薄い金属板A,B,C,Dが平行に並べてあり,スイッチ$\rm S_{1}$,$\rm S_{2}$と,起電力$V$の電池E,アースが接続されている.AB,BC,CDの距離は$d$,$2d$,$d$であり,$d$は金属板の面積$S$に対して十分小さい.

はじめ,スイッチ$\rm S_{1}$,$\rm S_{2}$は開いており,すべての極板には電荷が蓄えられていなかった.以下,真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$とする.

まず,スイッチ$\rm S_{1}$を閉じて十分時間が経過したところ,極板Aには電荷$Q(>0)$が蓄えられた.

(1) AB間,BC間,CD間の電場の大きさ$E_{\rm AB}$,$E_{\rm BC}$,$E_{\rm CD}$を$Q$,$\varepsilon_{0}$,$S$を用いて表せ.

(2) AD間の電位差が$V$であることを用いて,電荷$Q$を$\varepsilon_{0}$,$S$,$d$,$V$を用いて表せ.

次にスイッチ$\rm S_{1}$を閉じたままにスイッチ$\rm S_{2}$を閉じて十分時間が経過した.

(3) 極板Aに蓄えられている電荷を$Q^{\prime}$,Dに蓄えられる電荷を$-Q^{\prime}$が蓄えられたとする.このとき,AB間,BC間,CD間の電場の大きさ$E_{\rm AB}^{\prime}$,$E_{\rm BC}^{\prime}$,$E_{\rm CD}^{\prime}$を$Q^{\prime}$,$\varepsilon_{0}$,$S$を用いて表せ.

(4) AD間の電位差が$V$であることを用いて,$Q^{\prime}$を$\varepsilon_{0}$,$S$,$d$,$V$を用いて表せ.

<解答>

PHYさん
PHYさん

平面に分布している電荷がつくる電場は次のようになります.

平面に一様に分布した電荷がつくる電場

十分に広い平面に一様な電荷$Q$が分布している.

真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$,平面の面積を$S$とするとき,電場の大きさ$E$は

$E=\dfrac{|Q|}{2\varepsilon_{0}S}$

これは,電場が距離によらず一定であることを意味している.

PHYさん
PHYさん

さらに,$+Q$,$-Q$の蓄えられた電荷がつくる電場によって,その内部の電場は$\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}$になり,外部の電場は0になります.

Aに電荷$Q$が蓄えられると,Bの左部分に$-Q$が蓄えられ,Bの電荷はもともと0だったので,電荷保存則より,Bの右側部分の電荷は$Q$になります.

すると,Cの左部分は電荷が$-Q$になり,Cの電荷保存則より,Cの右側部分の電荷が$Q$になり,その結果Dの電荷は$-Q$となります.

したがって,

$E_{\rm AB}=E_{\rm BC}=E_{\rm CD}=\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}$(答)

(2) 

PHYさん
PHYさん

電場の大きさと電位差の関係は次のようになります.

電場の電位差の関係

電場の大きさを$E$,距離$\Delta x$の電位差を$\Delta V$とするとき,次の関係が成り立つ.

$E=\left|\dfrac{\Delta V}{\Delta x}\right|$

★ キルヒホッフ(電圧降下の式)則

AB間,BC間,CD間の電位差の和が$V$なので,

$\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}\cdot d+\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}\cdot 2d+\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}\cdot d=V$

$\therefore Q=\dfrac{\varepsilon_{0}S}{4d}V$ (答)

(3) 

PHYさん
PHYさん

Aに蓄えられている電荷が$Q^{\prime}$であるとき,Bの左部分に電荷$-Q^{\prime}$が帯電します.

BとCの間に電位差がないので,Bの右側とCの左側には電荷は蓄えられていません.

電荷保存則より,Cの右側には電荷$Q^{\prime}$が蓄えられ,Dには電荷$-Q^{\prime}$が蓄えられます.

したがって,

$E_{\rm AB}^{\prime}=E_{\rm CD}^{\prime}=\dfrac{Q^{\prime}}{\varepsilon_{0}S}$(答)

$E_{\rm BC}^{\prime}=0$(答)

(4) 

PHYさん
PHYさん

起電力$V$の電池につないだままなので,AD間の電位差は$V$です.

★ キルヒホッフ(電圧降下の式)則

$V=\dfrac{Q^{\prime}}{\varepsilon_{0}S}\cdot d+\dfrac{Q^{\prime}}{\varepsilon_{0}S}\cdot d$

$Q^{\prime}=\dfrac{\varepsilon_{0}S}{2d}V$ (答)

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