振動数$f_{0}[\rm Hz]$の音源をもった青の人と，観測者である緑の人がいる．
一直線上の運動のみを考えるとき，次の各々の場合について，緑の人（観測者）の観測する振動数$f[\rm Hz]$を求めよ．
ただし，音速は$V[\rm m/s]$で一定であり，風は吹いていないものとする．
(1) 音源をもった青の人が右方向に速さ$v[\rm m/s]$で動き，観測者である緑の人が静止しているとき．
(2) 音源をもった青の人が静止していて，観測者である緑の人が左方向に速さ$u[\rm m/s]$で動いているとき．
(3) 音源をもった青の人が右方向に速さ$v[\rm m/s]$で動き，観測者である緑の人が右方向に速さ$u[\rm m/s]$で動くとき．
(4) 音源をもった青の人が左方向に速さ$v[\rm m/s]$で動き，観測者である緑の人が右方向に速さ$u[\rm m/s]$で動くとき．
(5) 音源をもった青の人が右方向に速さ$v[\rm m/s]$で動き，観測者である緑の人が左方向に速さ$u[\rm m/s]$で動くとき．
ドップラー効果の問題は次のことを確認してから解きましょう．
観測者が観測する振動数$f[\rm Hz]$は「$1 \rm s$間で観測者が受け取る波の数」を意味する．
波の数は次のように表すことができる．
波の波長を$\lambda$（波1個分の長さ），波の個数を$N$，波全体の長さを$\Delta L$とすると，次の関係式が成り立つ．
$\Delta L=N\cdot \lambda$
$\therefore N=\dfrac{\Delta L}{\lambda}$
このことから，
$f=\dfrac{1{\rm s}で受け取る波の長さ }{波の波長}$
で観測者が観測する振動数を求める．
以下，音源の振動数を$f_{0}$，音速を$V[\rm m/s]$，音源の速さを$v[\rm m/s]$，観測者の速さを$u[\rm m/s]$とする．
★ $1\rm s$で受けとる波の長さ
① 観測者が動かないとき→ $V\cdot 1$
② 観測者が音源に向かっているとき→ $(V+u)\cdot 1$
③ 観測者が音源から遠ざかっているとき→ $(V-u)\cdot 1$
★ 波の波長
① 音源が動かないとき→ $\dfrac{V}{f_{0}}$
② 音源の進行方向の波長→ $\dfrac{V-v}{f_{0}}$
① 音源の進行方向と逆の波長→ $\dfrac{V+v}{f_{0}}$
(1)
音源の前方の波長$\lambda^{\prime}$は
$\lambda^{\prime}=\dfrac{V-v}{f_{0}}$
に縮まっていますね．
また，観測者が$1\rm s$に受け取る波の長さ$L$は
$L=V\cdot 1$
以上より，観測者が観測する振動数$f$は
$\eqalign{f&=\dfrac{L}{\lambda^{\prime}}\\&=\dfrac{V}{\dfrac{V-v}{f_{0}}}\\&=\dfrac{V}{V-v}f_{0}[\rm Hz]}$ (答)
(2)
音源の前方の波長$\lambda^{\prime}$は
$\lambda^{\prime}=\dfrac{V}{f_{0}}$
で変化していません．
また，観測者が$1\rm s$に受け取る波の長さ$L$は
$L=(V+u)\cdot 1$
以上より，観測者が観測する振動数$f$は
$\eqalign{f&=\dfrac{L}{\lambda^{\prime}}\\&=\dfrac{V+u}{\dfrac{V}{f_{0}}}\\&=\dfrac{V+u}{V}f_{0}[\rm Hz]}$ (答)
(3)
音源の前方の波長$\lambda^{\prime}$は
$\lambda^{\prime}=\dfrac{V-v}{f_{0}}$
に縮みます．
また，観測者が$1\rm s$に受け取る波の長さ$L$は
$L=(V-u)\cdot 1$
以上より，観測者が観測する振動数$f$は
$\eqalign{f&=\dfrac{L}{\lambda^{\prime}}\\&=\dfrac{V-u}{\dfrac{V-v}{f_{0}}}\\&=\dfrac{V-u}{V-v}f_{0}[\rm Hz]}$ (答)
(4)
音源の前方の波長$\lambda^{\prime}$は
$\lambda^{\prime}=\dfrac{V+v}{f_{0}}$
に伸びます．
また，観測者が$1\rm s$に受け取る波の長さ$L$は
$L=(V-u)\cdot 1$
以上より，観測者が観測する振動数$f$は
$\eqalign{f&=\dfrac{L}{\lambda^{\prime}}\\&=\dfrac{V-u}{\dfrac{V+v}{f_{0}}}\\&=\dfrac{V-u}{V+v}f_{0}[\rm Hz]}$ (答)
(5)
音源の前方の波長$\lambda^{\prime}$は
$\lambda^{\prime}=\dfrac{V-v}{f_{0}}$
に縮みます．
また，観測者が$1\rm s$に受け取る波の長さ$L$は
$L=(V+u)\cdot 1$
以上より，観測者が観測する振動数$f$は
$\eqalign{f&=\dfrac{L}{\lambda^{\prime}}\\&=\dfrac{V+u}{\dfrac{V-v}{f_{0}}}\\&=\dfrac{V+u}{V-v}f_{0}[\rm Hz]}$ (答)
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