なぜ，電磁力がした仕事を式に入れないのか？

はい．導体棒が電池となります．

あらためてまとめておきましょう．

導体棒が電池になる理由は下記の記事で扱っています．

[基本]導体棒の磁場中の運動演習①

導体棒が磁場中を動くことで生じる起電力NEKO導体棒が磁場中を運動する問題はいろいろなことが聞かれるから難しい．．．試験にはよく出るから演習をしないと．PHYさんそうですね．確かにいろいろな要素が混ざって複雑に感じるかもしれません．では，一...

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2020.09.10

そうですね．それは

(電磁力がした仕事)+（誘導起電力がした仕事）＝0

になるからなんです．

はい．

それでは，順に考えていきましょう．

図2のように，抵抗$R$をつないで，回路をつくってみましょう．

すると，導体棒が電池となり，導体棒と抵抗に電流が流れます．図3をみてください．

そうですね．

すると，磁場中に電流が流れるわけですから，導体棒は電磁力を受けます．

磁束密度$B$内に磁場と垂直な方向に電流$I$が流れるとき，長さ$l$分の電流が受ける力$F$は

$F=IBl$

となります．

つまり，今回の場合，フレミング左手の法則も考慮して大きさ

$F=iBl=\dfrac{v(Bl)^2}{R}$

の電磁力が図4のように左方向にはたらきます．

さて，本題にはいります．

そもそも電磁力はローレンツ力と同じはずです．

しかしローレンツ力は仕事をしません．

実は，ちゃんとローレンツ力がした仕事は0になっているんです．

導体棒が右方向に速さ$v$で動いているときに，導体棒には電流が流れているため，静止している人からみると，自由電子は図6の方向に速度をもっているはずです．

つまり

青の速度$v$と緑の速度$u$

です．

すると，それぞれの速度成分がローレンツ力をうけます．

$v$の成分のローレンツ力が導体棒の長さ方向に大きさ$evB$，$u$の成分のローレンツ力が図6の左方向に大きさ$euB$です．

$evB$の力の成分は誘電起電力もたらします．

そして，$euB$の成分がいわゆる電磁力とよばれているものとなります．

このように，ローレンツ力は2つの速度成分を分解すると，それぞれ

誘導起電力と電磁力

に分けることができるのです．

そして，ローレンツ力がする仕事が0であることから次のことが言えます．

では，計算してみましょう．

導体棒の長さを$l$，断面積を$S$，単位体積当たりの自由電子の数を$n$とすると，この導体棒全体にはたらく電磁力は，$I=euSn$の関係の関係も考慮して（正確には電子にはたらくローレンツ力の和が電磁力というわけではなく，静止している正の電荷が受ける静電気力の和が静電気力になるが，大きさ向きは同じになる．）

$euB\cdot Sln = IBl$

速さが$v$であることと，電磁力が負の仕事をしていることから，単位時間当たりに電磁力がする仕事$P_{1}$は

$P_{1}=-IBl\cdot v$　$\dots (2\ast)$

一方，ローレンツ力$evB$がはたらいているときの誘導起電力の大きさ$V$は

$V=vBl$

あるから，この誘導起電力がする単位時間あたりにする仕事$P_{2}$は

$P_{2}=VI=vBl\cdot I$ $\dots (3\ast)$

$(2\ast)$，$(3\ast)$より，$ (\ast)$が成り立つことが確認できますね．