電池がした仕事≠静電エネルギーの変化？

導体棒が$y=y$にいるときの速度を$v$とします．また，このとき，コンデンサーに蓄えられている電荷を$q$，回路に流れている電流を上図の向きに$i$としましょう．

磁場中に電流が流れているので，導体棒は電磁力$iBl$を$y$軸の負の向きに受けます．また，重力は$y$軸の正の方向に受けますね．導体棒の加速度を$y$軸の正の向きに$a$とすると，運動方程式は

$ma=mg-iBl$　$\dots (\ast)$

となります．また，電流$i$と$\Delta t$の間のコンデンサーの電荷の変化$\Delta q$の関係は

$i=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}$　$\dots (2\ast)$

さらに，導体棒が速さ$v$で磁場中を動いているときに生じる起電力$E$は

$E=vBl$　$\dots (3\ast)$

コンデンサーの基本式に$(3\ast)$を代入して

$q=CE=CvBl$　$\dots (4\ast)$

$(4\ast)$を$(2\ast)$に代入して

$i=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}=\dfrac{\Delta (CvBl)}{\Delta t}=CBl\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$

加速度の定義式より，$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$を上式に代入して

$i=CBla$　$\dots　(5\ast)$

$(5\ast)$を$(\ast)$に代入して

$\eqalign{ma&=mg-iBl\cr ma&=mg-CB^{2}l^{2}a\cr ma+CB^{2}l^{2}a&=mg\cr(m+CB^{2}l^{2})a&=mg\cr a&=\dfrac{mg}{m+CB^{2}l^{2}}}$

$a=\dfrac{mg}{m+CB^{2}l^{2}}$は時刻によらず一定なので等加速度運動をすることがわかります．すると，時刻$t$における導体棒の速度$v$は，等加速度運動の式より

$v=at=\dfrac{mg}{m+CB^{2}l^{2}}t$

なので，時刻$t$における導体棒に生じる誘導起電力の大きさ$E$は$(3\ast)$より

$E=vBl=\dfrac{mgBl}{m+CB^{2}l^{2}}t$　$\dots　(6\ast)$

また，時刻$t$において，コンデンサーに蓄えられている電荷$q$は$(4\ast)$より

$q=CE=CvBl=\dfrac{mgCBl}{m+CB^{2}l^{2}}t$

さらに，$(2\ast)$より，時刻$t$における回路に流れる電流$i$は

$\eqalign{i&=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}\\&=\dfrac{mgCBl}{m+CB^{2}l^{2}}\dfrac{\Delta t}{\Delta t}\\&=\dfrac{mgCBl}{m+CB^{2}l^{2}}}$ 　$\dots　(7\ast)$

$(6\ast)$と$(7\ast)$より，単位時間あたりに誘導起電力がする仕事$P$は

$\eqalign{P&=iE\\&=\dfrac{mgCBl}{m+CB^{2}l^{2}}\cdot\dfrac{mgBl}{m+CB^{2}l^{2}}t \\&=\left(\dfrac{mgBl}{m+CB^{2}l^{2}}\right)^{2}Ct}$

このとき，縦軸を単位時間あたりに誘導起電力がした仕事$P$を，横軸に時刻$t$をとってグラフをかくと，次のようになります．

このとき，上図の長方形の面積が$P\Delta t$となり，$\Delta t$間の誘導起電力がした仕事を表しています．時刻によって変化するため，細かく足し合わせていきます．

導体棒が$y=h$に達したときの時刻を$t=T$とすると，$t=0$から$t=T$までに誘導起電力がした仕事$W$は上図の青色の三角形の面積を求めて，

$\eqalign{W&=\dfrac{1}{2}T\cdot \left(\dfrac{mgBl}{m+CB^{2}l^{2}}\right)^{2}CT\\&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{mgBl}{m+CB^{2}l^{2}}\right)^{2}CT^2}$　$\dots (\clubsuit)$

次に，$t=T$を$(6\ast)$に代入すると，$E=\dfrac{mgBl}{m+CB^{2}l^{2}}T$であるから，$t=T$でコンデンサーに蓄えらえた静電エネルギー$U$は

$\eqalign{U&=\dfrac{1}{2}CE^2\\&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{mgBl}{m+CB^{2}l^{2}}\right)^{2}CT^2}$ $\dots (\heartsuit)$

$E=VBl$より

$\eqalign{mgh&=\dfrac{1}{2}mV^{2}+\dfrac{1}{2}CE^2\cr \dfrac{1}{2}mV^{2}+\dfrac{1}{2}C(VBl)^2 &=mgh\cr \dfrac{1}{2}(m+CB^{2}l^{2})V^2&=mgh \cr V^2&=\dfrac{2mgh}{m+CB^{2}l^{2}}\cr V&=\sqrt{\dfrac{2mgh}{m+CB^{2}l^{2}}}}$