円運動　導体棒の磁場中の運動演習③[基本]

この前導体棒の磁場中の運動の問題を解いていたら，導体棒が磁場を垂直に切る速さ$v_{\perp}$，磁束密度の大きさ$B$，導体棒の長さを$l$としたときの導体棒に生じる誘導起電力の大きさ$V$の式

$V=v_{\perp}Bl$

が使えない式に出会ったんだ．．．

導体棒が円運動をする問題．

下図のように，長さ$l$の導体棒が磁束密度$B$中でPを中心に角速度$\omega$で等速円運動をしているときの誘導起電力$V$を求めよ，という問題だったんだけど，，

半径$r$，角速度$\omega$の円運動の速さ$v$は

$v=r\omega$

だからてっきり誘導起電力$V$は

$V=vBl=l\omega Bl=l^{2}\omega B$

だと思ったんだけど，なぜか答えが

$V=\dfrac{1}{2}l^{2}\omega B$

だったんだ・・・．

そうか！Pに近いところは速度の大きさが小さいから誘導起電力も小さいけど，Pから遠いところでは速度の大きさが大きいから誘導起電力が大きくなるんだ．場所によって誘導起電力が違うから分割して起電力を足し合わせなくちゃいけないんだね！

中心Pからの距離が$x$の場所の円運動の速さは$v=x\omega$だね．電子の電荷を$-e$とするとローレンツ力の大きさ$f$は

$f=evB=ex\omega B$

だね．向きはフレミング左手の法則からP→Qの向きだね．

Pから距離$x$での電場を$E$とすると，クーロン力は$eE$だから，ローレンツ力とのつり合いを考えて

$\eqalign{eE&=ex\omega B\cr E&=x\omega B}$

だね．

長方形の面積は$E\Delta x$だから，PQ間にある$\Delta x$部分の電位差を表しているね．この電位差を全部足し合わせればいいんだ．ってことは，次の三角形の面積を求めればいいだね！

面積は

$\dfrac{1}{2}\cdot l \cdot \omega Bl =\dfrac{1}{2}l^{2}\omega B$

だから，，本当だ！確かに$\dfrac{1}{2}$が出てきた．だからPQ間の誘導起電力が

$V=\dfrac{1}{2}l^{2}\omega B$

なんだ．

そっか，PQ間の導体棒の各部分が切った磁束が誘導起電力になるから，結局，その和を求めると，導体棒全体が切り取った磁束を計算すればいいんだ！

角速度が$\omega$のとき，時間$t$で$\omega t$だけ回転するので切り取った面積$S$は比を考えて

$S=\pi l^{2}\cdot \dfrac{\omega t}{2\pi}=\dfrac{1}{2}l^{2}\omega t$

だね．ちなみに比というのは

$\pi l^{2} : S=2\pi : \omega t$

のことだよ．だから誘導起電力の大きさ$V$は

$\eqalign{V&=\dfrac{\Delta \Phi}{\Delta t}\\&=\dfrac{B\Delta S}{\Delta t}\\&=\dfrac{B\Delta (\dfrac{1}{2}l^{2}\omega t)}{\Delta t}\\&=\dfrac{1}{2}l^{2}\omega B\cdot \dfrac{\Delta t}{\Delta t}\\&=\dfrac{1}{2}l^{2}\omega B}$

一緒になるね！しかも計算はこっちの方が楽かも．

これで回転している場合の導体棒の誘導起電力も計算ができるようになったね！次回はいよいよ回路の問題が出てきます．

次回の内容はこちら．

発電機　導体棒の磁場中の運動演習④[基本]

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2020.09.23