2020年　京都大学　第1問　単振動　

<解答>

小球2の位置$x^{\prime}$における加速度を$x^{\prime}$の正の向きに$a$と設定しましょう．図(d)のように自然長より伸びている状況を想定すると，重力は正の向きに$mg$，弾性力は負の向きに$k(x-l)$です．したがって，運動方程式は

$ma=-k(x^{\prime}-l)+mg=-k(x^{\prime}-l-\dfrac{mg}{k})$

となるので，中心が$l+\dfrac{mg}{k}$，角振動数$\sqrt{\dfrac{k}{m}}$，周期$2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$の単振動をすることがわかります．したがって，中心の位置は$l+\dfrac{mg}{k}$(ア)．ちなみに，中心の位置とつり合いの位置は同じです．

つり合いの位置から$d$だけ引き下げて静かに離したので，スタートで振動の端でもある$x^{\prime}=l+\dfrac{mg}{k}+d$と振動の中心$l+\dfrac{mg}{k}$との距離は$d$．これが振幅ですね．$d$(イ)

また，小球2の位置が$x^{\prime}$のときの小球1にはたらく力について考えていきましょう．糸の張力の大きさを$S$として，つり合いの式を立てます．小球1のはたらく力は正の向きに弾性力$k(x-l)$と重力$mg$，負の向きに張力$S$がはたらきます．小球2のつり合いの式より

$\eqalign{k(x^{\prime}-l)+mg-S&=0\cr S&=k(x^{\prime}-l)+mg}$　$\dots (\ast)$

$(\ast)$より$x^{\prime}$が小さくなっていくと$S$が小さくなっていくのがわかります．糸がたるむのは$S=0$なので，$(\ast)$より

$\eqalign{0&=k(x^{\prime}-l)+mg\cr x^{\prime}&=l-\dfrac{mg}{k}}$

したがって，$l-\dfrac{mg}{k}$(ウ)のとき糸がたるみます．

振動の中心とたるむ位置$l-\dfrac{mg}{k}$との距離は

$l+\dfrac{mg}{k}-(l-\dfrac{mg}{k})=\dfrac{2mg}{k}$

なので，たるむための条件は$\dfrac{2mg}{k}$が$d$より小さいときです．すなわち$d>\dfrac{2mg}{k}$(エ)

<解答>

$(\ast)$の運動方程式$ma=-k(x^{\prime}-l-\dfrac{mg}{k})$を単振動のエネルギー保存の形にすると

$\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}k(x^{\prime}-l-\dfrac{mg}{k})^{2}=一定$　$\dots　(\clubsuit)$

となります．図の(c)（手を離した瞬間）と(d)（糸がたるむ瞬間）（このときの小球2の速さを$v_{2}$とします．）における$(\clubsuit)$の式を立てれば，

$\eqalign{\dfrac{1}{2}m\cdot 0^{2}+\dfrac{1}{2}kd^2&=\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}+\dfrac{1}{2}k(\dfrac{2mg}{k})^2\cr v_{2}&=\sqrt{\dfrac{k}{m}\{d^{2}-(\dfrac{2mg}{k})^{2})\}}}$

したがって，糸がたるむ瞬間の重心の速度は$\dfrac{-v_{2}+0}{2}$なので，重心の速さは$\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{k}{m}\{d^{2}-(\dfrac{2mg}{k})^{2})\}}$(オ)

また，糸がたるんだ後の小球1からみた小球2の位置$x$における加速度を$a_{12}$，小球1の加速度を$a_{1}$として，小球1の運動方程式と小球1からみた小球2の運動方程式を立てます．後者は慣性力がかかることに注意です．

$ma_{1}=mg+k(x-l)$　$\dots　(2\ast)$

$ma_{12}=mg-k(x-l)-ma_{1}$　$\dots　(3\ast)$

$(2\ast)$，$(3\ast)$より，$a_{1}$を消去して$a_{12}$を求めると

$\eqalign{ma_{12}&=mg-k(x-l)-\{mg+k(x-l)\}\\ &=-2k(x-l)}$

したがって，小球1からみた小球2は単振動をし，その周期は$2\pi\sqrt{\dfrac{m}{2k}}$(カ)となります．

次に小球1の速度が最小となるときのことを考えましょう．まず，糸がたるんだ瞬間の小球1の速度は0です．また，$(2\ast)$より，小球1の加速度$a_{1}$は

$a_{1}=g+\dfrac{k}{m}(x-l)=\dfrac{k}{m}x-\dfrac{k}{m}l+g$

です．糸がたるんだ瞬間の加速度は$(4\ast)$より$x=l-\dfrac{mg}{k}$を代入して，0になります．その後，$x$が小さくなる（ばねが縮む）ので，小球1の加速度は負になります．すると，小球1は負の速度をもち，加速度が負のときは負の速度の絶対値がどんどん大きくなっていきます．そして，再び小球1の加速度が0になるところで，小球1の速度が最小となります．

したがって，$(4\ast)$より，再び加速度が0になる$x$は

$x=l-\dfrac{mg}{k}$

のときです．これは糸がたるんだときの小球1からみた小球2の位置と同じなので，速さも同じです．速度は逆向きになりますね．したがって，小球1からみた小球2の速度は，$\sqrt{\dfrac{k}{m}\{d^{2}-(\dfrac{2mg}{k})^{2})\}}$となります．答えは重心の速さを用いて穴埋めなので正確には$2$(キ)

<解答>

時刻0のときに小球にはたらくのは弾性力と重力のみです．問題文に書かれている通り張力ははたらかないので，小球1の位置はつりあいの式を考えて$\dfrac{mg}{k}$(ク)

たるみがなくなる直前の速度は$v$であり，たるみがなくった直後の小球1と2の速度をそれぞれ$v_{1}$，$v_{2}$として，力学的エネルギー保存則と運動量保存則より

$\dfrac{1}{2}mv^{2}=\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}v_{2}^{2}$

$mv=mv_{1}+mv_{2}$

以上2式を解いて，$v_{2}=v$または$0$を得るが，糸のたるみがなくった直後は糸を介して撃力がはたらくため，速度の変化が起こるから$v_{2}=v$は不適．したがって，$v_{2}=0$(ケ)（力学的エネルギーが保存する完全弾性衝突とみなして解くのもあり）

すると，再び糸がたるみ，小球は重力と弾性力を受けて単振動を始める．その後小球1の位置$x_{1}$における加速度を$a_{1}$として運動方程式を立てると

$ma_{1}=mg-kx=-k(x-\dfrac{mg}{k})$

より，中心がはじめにいた位置$\dfrac{mg}{k}$の単振動をする．単振動のエネルギー保存より速度が0となる位置を$x=A$として（$A$が振幅です）

$\eqalign{\dfrac{1}{2}mv^{2}+\dfrac{1}{2}k\cdot 0^{2}&=\dfrac{1}{2}m\cdot 0^{2}+\dfrac{1}{2}kA^2\cr　A&=v\sqrt{\dfrac{m}{k}}}$

したがって，振幅は$v\sqrt{\dfrac{m}{k}}$(コ)

<解答>

小球2が小球1と衝突する直前の速さは$v_{2}$は，力学的エネルギー保存則より

$\dfrac{1}{2}mv^{2}=\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}+mgL$

$\therefore　v_{2}=\sqrt{v^{2}-2gL}$

衝突直後の小球1と小球2の速度を$v_{1}^{\prime}$，$v_{2}^{\prime}$とします．運動量保存則と反発係数の式より

$m(-v_{2})=mv_{1}^{\prime}+mv_{2}^{\prime}$

$1=-\dfrac{v_{1}^{\prime}-v_{2}^{\prime}}{0-(-v_{2})}$

以上2式から$v_{1}^{\prime}=-v_{2}$を得る．（いわゆる速度交換が起こります）したがって$v^{\prime}=|-v_{1}^{\prime}|=\sqrt{v^{2}-2gL}$．$v^{\prime}=\sqrt{v^{2}-2gL}$(サ)

糸のたるみがなくなる前後で力学的エネルギーが保存するので，弾性衝突とみなすことができます．すると，質量が同じなので速度交換が起こります．速度交換が起こると結局(コ)のとき考えたようにほとんどの場合再び糸がたるんでしまいます．

しかし，小球1と小球2が同じ速度であれば，再び糸がたるむことはありません．したがって，時刻$T$の直前の小球1からみた小球2の速度は$0$(シ)

(ス)は問題文をよく読めば$0$(ス)であることはすぐにわかると思います．ただ，問題文に書かれていることがやや難しいので，解説をしておきます．

時刻$T$の後，糸がたるむことなく運動したときを考えます．張力の大きさを$S$，弾性力を$F$，2つの小球の加速度を$\beta$とすると，運動方程式は

$m\beta =mg+S+F$，$m\beta =mg-S$

以上より，$S=-\dfrac{1}{2}F$．時刻$T$の直前はばねは伸びていたので$F\geqq 0$．$S=-\dfrac{1}{2}F$の関係より，糸がたるまないためには$F\leqq 0$これを同時にみたすのは$F=0$つまり，ばねが自然長になったときに時刻$T$をむかえるときです．

最後の(ス)は力学的エネルギー保存則を立てて求めます．まず，情報を整理すると次の図のようになります．

衝突直後と$t=T$直前について小球1と小球2の力学的エネルギー保存則を立てます．すでに求めている通り，$v_{2}=\sqrt{v^{2}-2gL}$です．また，$t=T$直前の小球1と小球2の速さをともに$V$とします．

まずは小球1について，重力による位置エネルギーの基準点は衝突直後の位置としています．

$\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}+\dfrac{1}{2}k(\dfrac{mg}{k})^{2}=\dfrac{1}{2}mV^{2}+mg\cdot \dfrac{mg}{k}$

次に小球2について，重力による位置エネルギーの基準点を$t=T$のときの位置として

$mg(L-\dfrac{mg}{k})=\dfrac{1}{2}mV^2$

以上2式から$V^2$を消去して

$v^2=4gL-\dfrac{mg^{2}}{k}$(セ)