上図に回路において，スイッチを閉じたときに検流計に電流が流れなかった．
このとき，抵抗$R_{1}$，$R_{2}$，$R_{3}$，$R_{4}$の間に次の関係が成り立つ．
$\dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{R_{3}}{R_{4}}$
($R_{1}R_{4}=R_{2}R_{3}$)
逆に，上の抵抗の関係式が成り立つのであれば，検流計に電流は流れない．
今回は，このホイートストンブリッジ回路の平衡条件の証明をしていきます．
検流計に電流が流れない$\Longrightarrow$$\dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{R_{3}}{R_{4}}$
検流計に電流が流れないとき，次の3つの条件を使うことができます．
1. $R_{1}$と$R_{3}$に流れる電流は同じ．
2. $R_{2}$と$R_{4}$に流れる電流は同じ．
3. BC間の電位差は0
1.と2.の条件から上図のように，抵抗$R_{1}$と$R_{3}$に流れる電流を$I$，抵抗$R_{2}$と$R_{4}$を流れる電流を$i$とおくことができます．
さらに，BC間の電位差が0であることから，次の2つのことが言えます．
- AB間の電位差とAC間の電位差が同じ
- BD間の電位差とCD間の電位差が同じ
この2つの条件を式にしてみましょう．
★ AB間の電位差とAC間の電位差が同じ
$R_{1}I=R_{2}i$
$\therefore \dfrac{i}{I}=\dfrac{R_{1}}{R_{2}}$ $\dots (\ast)$
★ BD間の電位差とCD間の電位差が同じ
$R_{3}I=R_{4}i$
$\therefore \dfrac{i}{I}=\dfrac{R_{3}}{R_{4}}$ $\dots (2\ast)$
$(\ast)$，$(2\ast)$より
$\dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{R_{3}}{R_{4}}$
$\dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{R_{3}}{R_{4}}$$\Longrightarrow$検流計に電流が流れない
$\dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{R_{3}}{R_{4}}$が成り立つときに，$\rm BC$間に電流が流れないことを示しましょう．
上図のように，抵抗$R_{1}$に流れる電流を$i_{1}$，$R_{2}$に流れる電流を$i_{2}$，検流計の内部抵抗を$r$として，$\rm BC$間に流れる電流を$I$と設定しましょう．
キルヒホッフ第1法則を考えれば，$R_{3}$に流れる電流は$i_{1}-I$，$R_{4}$に流れる電流は$I+i_{2}$となります．
最終目標は$I=0$を示すことです．
それでは，次の3つの経路のキルヒホッフ則（電圧降下の式）を立てましょう．
★ ①のキルヒホッフ則
$E-R_{1}i_{1}-rI+R_{2}i_{2}=E$
$\therefore$ $R_{1}i_{1}-R_{2}i_{2}+rI=0$ $\dots (3\ast)$
★ ②のキルヒホッフ則
$\eqalign{E-R_{2}i_{2}-R_{4}(I+i_{2})&=0\cr (R_{2}+R_{4})i_{2}&=E-R_{4}I\cr i_{2}&=\dfrac{E-R_{4}I}{R_{2}+R_{4}} \dots (4\ast)}$
★ ③のキルヒホッフ則
$\eqalign{E-R_{1}i_{1}-R_{3}(i_{1}-I)&=0\cr (R_{1}+R_{3})i_{1}&=E+R_{3}I\cr i_{1}&=\dfrac{E+R_{3}I}{R_{1}+R_{3}} \dots (5\ast)}$
$(4\ast)$の$i_{2}=\dfrac{E-R_{4}I}{R_{2}+R_{4}}$と$(5\ast)$の$i_{1}=\dfrac{E+R_{3}I}{R_{1}+R_{3}}$を$(3\ast)$の$R_{1}i_{1}-R_{2}i_{2}+rI=0$に代入すると
$R_{1}\cdot \dfrac{E+R_{3}I}{R_{1}+R_{3}}-R_{2}\cdot \dfrac{E-R_{4}I}{R_{2}+R_{4}}+rI=0$ $\dots (6\ast)$
さて，ここで$\dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{R_{3}}{R_{4}}$を使いましょう．
$\dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{R_{3}}{R_{4}}=k$
とおくと，
$R_{1}=kR_{2}$，$R_{3}=kR_{4}$
となります．
これらを$(6\ast)$に代入します．
$\eqalign{\cancel{k}R_{2}\cdot \dfrac{E+kR_{4}I}{\cancel{k}R_{2}+\cancel{k}R_{4}}-R_{2}\cdot \dfrac{E-R_{4}I}{R_{2}+R_{4}}+rI&=0\cr \cancel{\dfrac{R_{2}E}{R_{2}+R_{4}}}+\dfrac{kR_{2}R_{4}}{R_{2}+R_{4}}I-\cancel{\dfrac{R_{2}E}{R_{2}+R_{4}}}+\dfrac{R_{2}R_{4}}{R_{2}+R_{4}}I+rI&=0\cr (\dfrac{kR_{2}R_{4}}{R_{2}+R_{4}}+\dfrac{R_{2}R_{4}}{R_{2}+R_{4}}+r)I&=0}$
$\dfrac{kR_{2}R_{4}}{R_{2}+R_{4}}+\dfrac{R_{2}R_{4}}{R_{2}+R_{4}}+r\neq 0$より，$I=0$．
こっちの方がよく使うイメージだけど，割と面倒な計算になるんだね．
これは覚えておいた方がいいな．．
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