[有名問題]3つの物体の運動[東工大]　解法1

今回は，東工大の有名問題を扱います．

簡単なところは省いてあります．

運動方程式を立てて，加速度を求めます．

運動方程式は次の手順で立式します．

物体Aが運動していて，物体Aの上をさらに物体Bが運動している問題はよくみかけると思います．

このとき，物体Bの運動は物体Aの上の観測者からみるとシンプルになることが多いです．

今回も質量$M_{1}$と$M_{2}$の運動は，質量$M$の物体からみるとよいでしょう．

質量$M$の物体の上からみると，質量$M_{1}$と質量$M_{2}$の加速度は向きこそ違いますが，大きさは同じとみることができます．

逆に，水平面上で静止している人から見ると，質量$M_{2}$は複雑な運動をします．

それでは，力を図示しましょう．

質量$M$と質量$M_{2}$の物体は水平方向にしか運動していないので，水平方向の力のみ，質量$M_{1}$の物体は水平方向と鉛直方向に動いているので，水平方向の鉛直方向の力をかきます．（摩擦力がはたらく際は，水平方向のみの運動でも鉛直方向の力を図示します．）

力をもれなくえがくためには，接触部分に着目します．

次の①~⑥の接触部分に着目します．

滑車は質量$M$の物体の一部と考えれば，上図のような張力がはたらきます．

垂直抗力ははたらきますが，摩擦力がはたらかないので力を図示していません．

張力がはたらきます．

質量$M$の物体と質量$M_{1}$の物体に垂直抗力がはたらきます．

とりあえず，上図の向きに$R$と設定します．

この2つの$R$は作用反作用の関係にあります．

それでは，質量$M$の物体の運動方程式から立てていきましょう．

水平面で静止している人からみた加速度を$A$（右向きを正）とすると，運動方程式は次のようになります．

次に質量$M$の物体の上からみた質量$M_{1}$，$M_{2}$の運動方程式を立てます．

上図の緑色の観測者が加速度$A$で運動しているので，質量$M_{1}$と$M_{2}$には，加速度$A$の方向と反対方向に慣性力がはたらきます．

慣性力の大きさ$F$は

$F=(慣性力がはたらく物体の質量)×(観測者の加速度の大きさ)$

です．

質量$M$の物体の上で静止している観測者からみた質量$M_{2}$の物体の水平方向の加速度を$a$，おなじく，質量$M_{1}$の物体の鉛直下向きの加速度を$a$とします．

ちなみに，質量$M$の物体の上からみると，質量$M_{1}$は水平方向には動いていません．なので，つり合いの式を立てます．

$(\ast)$~$(4\ast)$を解いて，$A$，$a$，$T$，$R$を求めましょう．

$(10\ast)$から$R<0$であることが確認できるね．

つまり，設定した$R$の向きとは逆ということだね．

さて，質量$M$の物体からみると，質量$M_{1}$の物体が加速度$a$で等加速度運動をしています．

質量$M_{1}$の物体が加速度$a$で距離$h$だけ進むのにかかる時間を$\tau$とします．

等加速度運動の式より

$h=\dfrac{1}{2}a\tau^{2}$

$\tau^{2}=\dfrac{2h}{a}$　$\dots　(12\ast)$

となります．

この時間の間に質量$M$の物体が移動する距離$x$は，加速度の大きさが$|A|$であるから，等加速度運動の式より

$\eqalign{x&=\dfrac{1}{2}|A|\tau^{2}\\&=\dfrac{1}{2}|A|\cdot \dfrac{2h}{a}\\&=\dfrac{h|A|}{a}\\&=\dfrac{M_{2}}{M_{1}+M_{2}+M}h}$

以上より，求める距離は

$x=\dfrac{M_{2}}{M_{1}+M_{2}+M}h$