発電機（摩擦あり）　導体棒の磁場中の運動演習⑤[基本]

<解答>

(1)　

導体棒が磁場中を動くので電池になります．

電池の起電力は$vBl$，向きは上図のようになります．

回路に流れる電流を$I$とすると，オームの法則より

$vBl=RI$　$\therefore　I=\dfrac{vBl}{R}$

したがって，回路に流れる電流の大きさは$\dfrac{vBl}{R}$です．

(2)　導体棒は等速度運動しています．速度が変化していないので，加速度0です．

運動方程式$ma=F$からもわかる通り，$a=0$のとき$F=0$となります．

つまり，導体棒にはたらく力の和は0ということです．

導体棒にはたらく力をすべてかいてみましょう．

★導体棒にはたらく鉛直方向の力

上図は導体棒の進行方向から眺めたときのものです．

導体棒にはたらく力は重力と各導体レールとの間の垂直抗力があります．

今回は導体棒が一様な密度であるから重力は導体棒の中心にはたらき，導体レールp , qには，同じ大きさの垂直抗力がはたらきます．

垂直抗力の大きさを$N$とすれば，鉛直方向のつり合いの式は次のようになります．

$N+N=mg$　$\therefore　N=\dfrac{1}{2}mg$　$\dots　(\ast)$

★導体棒にはたらく水平方向の力

導体棒に水平方向にはたらく力は外力$F$と，電流が磁場から受ける電磁力$IBl$，動摩擦力$\mu N \cdot 2$です．

水平方向のつり合いの式より

$F=IBl+2\mu N$

$(\ast)$と(1)の結果である，$I=\dfrac{vBl}{R}$より

$\eqalign{F&=\dfrac{vBl}{R}\cdot Bl +2\mu \cdot \dfrac{1}{2}mg\\&=\dfrac{vB^{2}l^{2}}{R}+\mu mg}$

したがって，外力の力は右方向に大きさ$\dfrac{vB^{2}l^{2}}{R}+\mu mg$となります．

(3)　最後に単位時間あたりに生じるジュール熱です．

・単位時間あたりに抵抗で消費するジュール熱の式を用いる．

抵抗にかかる電圧を$V$，流れる電流を$I$とすると，単位時間あたりに抵抗で消費するジュール熱$P_{1}$は

$P_{1}=VI=vBl\cdot \dfrac{vBl}{R}=\dfrac{(vBl)^2}{R}$

・エネルギー収支の式を立てる．

導体棒と回路のエネルギー収支を考えると

(外力が導体棒にした仕事)+（摩擦力が導体棒にした仕事）=（ジュール熱）

単位時間あたりのジュール熱を$P_{2}$としましょう．エネルギー収支の式を立てると

$\eqalign{Fv-\mu mgv&=P_{2}\cr P_{2}&=(\dfrac{vB^{2}l^{2}}{R}+\mu mg)v-\mu mgv\cr P_{2}&=\dfrac{(vBl)^2}{R}}$