空気に対する相対屈折率$n$の水中の点Aに光源をおいた．点Aは深さ$h$の場所にある．図の太線は，光源から出た光が空気中にある目に届くまでの概略図である．
光源から出た光の入射角を$\theta_{1}$，屈折角を$\theta_{2}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $n$，$\theta_{1}$，$\theta_{2}$の関係式をかけ．
(2) Aの真上付近の空気中からみると光源は$\rm A^{\prime}$にあるように見えた．$\rm A^{\prime}$の深さ$h^{\prime}$を$\theta_{1}$，$\theta_{2}$，$h$を用いて表せ．
(3) $\theta_{1}$，$\theta_{2}$が非常に小さいとき，次の近似式が成り立つ．
$\tan\theta_{1}\fallingdotseq \sin\theta_{1}\fallingdotseq \theta_{1}$
$\tan\theta_{2}\fallingdotseq \sin\theta_{2}\fallingdotseq \theta_{2}$
このとき，(2)の$h^{\prime}$を$n , h$を用いて表せ．
<解答>
(1)
屈折の法則を確認しましょう．
速さ$v_{1}$，波長$\lambda_{1}$の波が入射角$\theta_{1}$で屈折面に入射し，その後屈折角が$\theta_{2}$，速さ$v_{2}$，波長が$\lambda_{2}$となった．入射側の媒質の屈折率を$n_{1}$，屈折する側の媒質の屈折率を$n_{2}$とすると，次の関係が成り立つ．
$\dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\dfrac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}$
また，屈折により，媒質の振動数$f$および周期$T$は変化しないことから，次のことが成り立つ．
$\dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\dfrac{\cancel{f}\lambda_{1}}{\cancel{f}\lambda_{2}}=\dfrac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$
一方，屈折率との関係は次のようになる．
$n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2}$
$n_{1}v_{1}=n_{2}v_{2}$
$n_{1}\lambda_{1}=n_{2}\lambda_{2}$
最後に，$n_{12}=\dfrac{n_{2}}{n_{1}}$を屈折率$n_{1}$の媒質に対する屈折率$n_{2}$の媒質の相対屈折率という．
「空気に対する相対屈折率$n$」というのは，空気の屈折率を$1$としたときに水中の屈折率が$n$と考えればよいです．
したがって，屈折の法則より，次の関係式が成り立ちます．
★ 屈折の法則
$n\sin\theta_{1}=1\cdot \sin\theta_{2}$(答)
(2)
直線$\rm AA^{\prime}$と水面との境界線との交点をHとします．
みかけの深さの問題ではよくあるのですが，下図のHPを共通な辺にもつ三角形$\rm AHP$と三角形$\rm A^{\prime}HP$を考えます．
この2つの三角形それぞれについて，$\rm HP$の長さを表すと
${\rm HP}=h\tan\theta_{1}=h^{\prime}\tan\theta_{2}$
となり，
$h^{\prime}=\dfrac{\tan\theta_{1}}{\tan\theta_{2}}h$(答)
を得ます．
(3)
最後は，問題文で与えられている近似と(1)の結果を使いましょう．
$\tan\theta_{1}\fallingdotseq \sin\theta_{1}$および，$\tan\theta_{2}\fallingdotseq \sin\theta_{2}$と，(1)の$\dfrac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}=\dfrac{1}{n}$を用いて
$\eqalign{h^{\prime}&=\dfrac{\tan\theta_{1}}{\tan\theta_{2}}h\\&\fallingdotseq \dfrac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}h\\&=\dfrac{h}{n}}$
ということで，答えは，$h^{\prime}=\dfrac{h}{n}$(答)となります．$n>1$のとき，少し浅いところに浮き上がって見えるんだね．
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