下の記事にある波の式の演習問題をやりたいな．
入試でもよく出てくるし・・・
そうですね．
それでは，波の式を立て方を上の記事を読んで復習しておいてください．
あと，自由端反射と固定端反射の問題を出すので，こちらも復習しておきましょう．
上の記事にも書いてあるけど，おおざっぱにまとめておこうね！
Aにおいて，媒質が単振動していて，その振動は$y_{\rm{A}}(t)$である．
波が伝わる速さが$v$でAからBの向きに波が伝わっているとする．
AB間の距離を$x$とすると，Aの振動がBの場所に伝えられるのにかかる時間は$\dfrac{x}{v}$である．
すると，Bの振動$y_{\rm{B}}(t)$は時間$\dfrac{x}{v}$前のAの振動と等しいので
$y_{\rm{B}}(t)=y_{\rm{A}}\left(t-\dfrac{x}{v}\right)$
・自由端反射では入射波と反射波の位相（タイミング）のずれはない．
・固定端反射では入射波と反射波の位相（タイミング）は$\pi$ずれる．
それでは解いてみましょう！
[1]
原点Oの時刻$t$における媒質の変位$y_{\rm{O}}(t)$が振幅$A$，周期$T$として
$y_{\rm{O}}(t)=A\cos\dfrac{2\pi}{T}t$
であった．この媒質の振動が速さ$v$で$x$軸の正の方向に伝わっている．
この波が媒質Pに直接伝わる入射波とPを通りすぎ，$x=L$において反射して再びPに伝わる反射波について次の問いに答えよ．
(1) 座標$x(x>0)$にある媒質Pに直接伝わる入射波の時刻$t$における波の変位$y_{\rm{P1}}(t)$の時間変化を求めよ．
(2) 座標$x(x>0)$にある媒質Pを通りすぎて$x=L$にある壁で反射された波が再びPにたどりついた．このとき，時刻$t$における媒質Pの反射波の変位$y_{\rm{P2}}(t)$の時間変化を求めよ．ただし，壁での反射は自由端反射とする．
(3) 座標$x(x>0)$にある媒質Pを通りすぎて$x=L$にある壁で反射された波が再びPにたどりついた．このとき，時刻$t$における媒質Pの反射波の変位$y_{\rm{P3}}(t)$の時間変化を求めよ．ただし，壁での反射は固定端反射とする．
[2]
原点Oの時刻$t$における媒質の変位$y_{\rm{O}}(t)$が振幅$A$，周期$T$として
$y_{\rm{O}}(t)=A\sin\dfrac{2\pi}{T}t$
であった．この媒質の振動が速さ$v$で$x$軸の負の方向に伝わっている．
この波が媒質Pに直接伝わる入射波とPを通りすぎ，$x=-L$において反射して再びPに伝わる反射波について次の問いに答えよ．
(1) 座標$x(x<0)$にある媒質Pに直接伝わる入射波の時刻$t$における波の変位$y_{\rm{P1}}(t)$の時間変化を求めよ．
(2) 座標$x(x<0)$にある媒質Pを通りすぎて$x=-L$にある壁で反射された波が再びPにたどりついた．このとき，時刻$t$における媒質Pの反射波の変位$y_{\rm{P2}}(t)$の時間変化を求めよ．ただし，壁での反射は自由端反射とする．
(3) 座標$x(x<0)$にある媒質Pを通りすぎて$x=-L$にある壁で反射された波が再びPにたどりついた．このとき，時刻$t$における媒質Pの反射波の変位$y_{\rm{P3}}(t)$の時間変化を求めよ．ただし，壁での反射は固定端反射とする．
<解答>
[1]
(1) OP間の距離は$x$なので，Oの振動がPに伝わる時間は$\dfrac{x}{v}$です．
$y_{\rm{P1}}(t)=A\cos\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{x}{v}\right)$
(2) O→壁→Pの距離は$2L-x$なので，Oの振動がP（反射波）に伝わる時間は$\dfrac{2L-x}{v}$です．
また，壁では自由端反射するので，反射による位相のずれはありません．
$y_{\rm{P2}}(t)=A\cos\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{2L-x}{v}\right)$
(3) O→壁→Pの距離は$2L-x$なので，Oの振動がP（反射波）に伝わる時間は$\dfrac{2L-x}{v}$です．
また，壁では固定端反射するので，反射による位相のずれは$\pi$です．
$y_{\rm{P3}}(t)=A\cos\left\{\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{2L-x}{v}\right)+\pi\right\}=-A\cos\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{2L-x}{v}\right)$
[2]
(1) OP間の距離は$x$ではなく，$|x|$です！$x<0$なので，$|x|=-x$ですね．
したがって，OからPに振動が伝わる時間は$\dfrac{|x|}{v}=\dfrac{-x}{v}$となります．
$y_{\rm{P1}}(t)=A\sin\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{-x}{v}\right)=A\sin\dfrac{2\pi}{T}\left(t+\dfrac{x}{v}\right)$
(2) O→壁→Pの距離は$2L-|x|=2L+x$なので，Oの振動がP（反射波）に伝わる時間は$\dfrac{2L+x}{v}$です．
また，壁では自由端反射するので，反射による位相のずれはありません．
$y_{\rm{P2}}(t)=A\sin\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{2L+x}{v}\right)$
(3) O→壁→Pの距離は$2L-|x|=2L+x$なので，Oの振動がP（反射波）に伝わる時間は$\dfrac{2L+x}{v}$です．
また，壁では固定端反射するので，反射による位相のずれは$\pi$です．
$y_{\rm{P3}}(t)=A\sin\left\{\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{2L+x}{v}\right)+\pi\right\}=-A\sin\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{2L+x}{v}\right)$
ポイントは
- どのくらい遅れて伝わるのか．
- 途中で反射による位相のずれはあるのか．
だね．
コメント
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