共通テスト第2日程 第3問 定常波

共通テスト対策問題
問題

一般に,定常波は波長も振幅も等しい逆向きに進む2つの正弦波が重なり合って生じる.上図は,時刻$t=0$の瞬間の右に進む正弦波の変位$y_{1}$(実線)と左に進む正弦波の変位$y_{2}$(破線)を,位置$x$の関数として表したグラフである.それぞれの振幅を$\dfrac{A_{0}}{2}$,波長を$\lambda$,振動数を$f$とすれば,時刻$t$における$y_{1}$は

$y_{1}=\dfrac{A_{0}}{2}\sin 2\pi(ft-\dfrac{x}{\lambda})$

と表される.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 時刻$t$における$y_{2}$を$A_{0}$,$f$,$t$,$x$,$\lambda$を用いて表せ.

(2) $\rm a$,$\rm a^{\prime}$,$\rm b$,$\rm b^{\prime}$の中から節の位置となるものをすべて選べ.

<解答>

(1) 

NEKO
NEKO

そもそも,なぜ$y_{1}$が

$y_{1}=\dfrac{A_{0}}{2}\sin 2\pi(ft-\dfrac{x}{\lambda})$

となるのかを考えてみましょう.

これを調べるには,$y_{1}$の原点の振動をみていきます.

NEKO
NEKO

$y_{1}$の波は右に進んでいます.

次の瞬間の波(青色の波)をかいて,原点部分に着目すると,$t=0$では中心にあった媒質が次の瞬間$y$の正方向に移動しています.

$0$から正の方向に移動する振動は$\sin$型です.

振動数が$f$なので,$y_{1}$の原点の振動の時間変化$y_{1}(0)$は

$y_{1}(0)=\dfrac{A_{0}}{2}\sin 2\pi ft $

となります.

波とは,振動が遅れて伝わる現象です.

波の伝わる速さを$v$とすれば,位置$x$の振動は時間$\dfrac{x}{v}$前の原点での振動と同じです.

位置$x$の媒質の振動の式を$y_{1}(x)$とすると

$\eqalign{y_{1}(x)&=\dfrac{A_{0}}{2}\sin 2\pi f(t-\dfrac{x}{v})\\&=\dfrac{A_{0}}{2}\sin 2\pi(ft-\dfrac{fx}{v})\\&=\dfrac{A_{0}}{2}\sin 2\pi(ft-\dfrac{x}{\lambda})}$

NEKO
NEKO

途中,波の基本式($v=f\lambda$)を使いました.

同じように$y_{2}$の原点での振動を考えます.

NEKO
NEKO

$y_{2}$の次の瞬間の波をかくと,原点での振動が$\sin$型であることが確認できます.

$y_{2}$の波は$x$軸の負の方向に進んでいます.したがって,

$x(>0)$での振動は時間$\dfrac{x}{v}$後の原点での振動と同じなので,$y_{2}(x)$は

$\eqalign{y_{2}(x)&=\dfrac{A_{0}}{2}\sin 2\pi f(t+\dfrac{x}{v})\\&=\dfrac{A_{0}}{2}\sin 2\pi (ft+\dfrac{fx}{v})\\&=\dfrac{A_{0}}{2}\sin 2\pi (ft+\dfrac{x}{\lambda})}$ (答)

(2) 

NEKO
NEKO

(1)で考察したように,原点での$y_{1}$と$y_{2}$の振動はピッタリです.

振動のタイミングが同じ場所は大きな振動をします.

そして,この場所が定常波のとなります.

腹と節の距離が$\dfrac{\lambda}{4}$であることを用いれば,節の場所は$\rm a$と$\rm a^{\prime}$です.

たしかに,この場所は$y_{1}$と$y_{2}$の振動が真反対で,打ち消し合います.

答え $\rm a$$\rm a^{\prime}$

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