[演習] 耐電圧2 直列 コンデンサー3つ

分野別
問題

上図のように,帯電していない3つのコンデンサー$\rm C_{1} , C_{2},C_{3}$がある.コンデンサーの電気容量と耐電圧が次の場合であるとき,ABにかけることができる最大電圧はいくらか.

(1) $\rm C_{1}$の電気容量は$C$,耐電圧が$3V$,$\rm C_{2}$の電気容量が$2C$,耐電圧が$2V$,$\rm C_{3}$の電気容量は$3C$,耐電圧は$4V$.

(2) $\rm C_{1}$の電気容量は$3C$,耐電圧が$3V$,$\rm C_{2}$の電気容量が$2C$,耐電圧が$6V$, $\rm C_{3}$の電気容量は$4C$,耐電圧は$2V$

NEKO
NEKO

直列で電荷が蓄えられてないコンデンサーの場合の電気容量と電圧の比は次のようになります.

次のことは覚えていなくてもいいので,条件を入れて導けるようにしておくとよいです.

直列コンデンサーの電圧と電気容量の比

図のような電気容量$C_{1} , C_{2} , C_{3} , \cdots , C_{n}$の$n$個のコンデンサーがある.点線部分の電荷の和が0のとき,AB間に電圧をかけると,どのコンデンサーも蓄えられる電荷が同じなので,電気容量$C$と電圧$V$には

$CV=$一定 すなわち $V=\dfrac{定数}{C}$

の関係がある.つまり,

$V_{1}:V_{2}:\cdots :V_{n}=\dfrac{1}{C_{1}}:\dfrac{1}{C_{2}}:\cdots :\dfrac{1}{C_{n}}$

が成り立つ.

<解答>

(1)

NEKO
NEKO

コンデンサー$\rm C_{1} , C_{2} , C_{3}$にかかる電圧をそれぞれ$V_{1} , V_{2} , V_{3}$とすると,電圧と電気容量が反比例の関係にあることから,次のようになります.

$V_{1}:V_{2}:V_{3}=\dfrac{1}{C}:\dfrac{1}{2C}:\dfrac{1}{3C}=6:3:2$

NEKO
NEKO

あとは,地道に,計算しましょう.

  • $\rm C_{1}$が耐電圧ギリギリの場合
  • $\rm C_{2}$が耐電圧ギリギリの場合
  • $\rm C_{3}$が耐電圧ギリギリの場合

を考えます.

★ $\rm C_{1}$に$3V$の電圧がかかる場合

$\rm C_{2}$にかかる電圧は

$3V\times \dfrac{3}{6}=\dfrac{3}{2}V$

$\rm C_{3}$にかかる電圧は

$3V\times \dfrac{2}{6}=V$

これはそれぞれの耐電圧内なので,このときのAB間の電圧は

$3V+\dfrac{3}{2}V+V=\dfrac{11}{2}V$ $\cdots (\ast)$

★ $\rm C_{2}$に$2V$の電圧がかかる場合

$\rm C_{1}$にかかる電圧は

$2V\times \dfrac{6}{3}=4V$

これは耐電圧を超えているので×.(この時点でこれ以上計算する必要がなくなる.)

★ $\rm C_{3}$に$4V$の電圧がかかる場合

$\rm C_{1}$にかかる電圧は

$3V\times \dfrac{6}{2}=12V$

これは耐電圧を超えているので×.(この時点でこれ以上計算する必要がなくなる.)

NEKO
NEKO

以上からABの最大電圧は,$(\ast)$より

$\dfrac{11}{2}V$ (答)

(2) 

NEKO
NEKO

同じように計算しましょう.コンデンサー$\rm C_{1} , C_{2} , C_{3}$にかかる電圧をそれぞれ$V_{1} , V_{2} , V_{3}$とすると,電圧と電気容量が反比例の関係にあることから,次のようになります.

$V_{1}:V_{2}:V_{3}=\dfrac{1}{3C}:\dfrac{1}{2C}:\dfrac{1}{4C}=4:6:3$

★  $\rm C_{1}$に$3V$の電圧がかかる場合

$\rm C_{2}$にかかる電圧は

$3V\times \dfrac{6}{4}V=\dfrac{9}{2}V$

$\rm C_{3}$にかかる電圧は

$3V\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4}$

これは$\rm C_{3}$の耐電圧$2V$を超えているので不適.

★ $\rm C_{2}$に$6V$の電圧がかかる場合

$\rm C_{1}$にかかる電圧は

$6V\times \dfrac{4}{6}=4V$

これは$\rm C_{1}$の耐電圧$3V$を超えているので不適.(これ以上計算しなくてよい.)

★ $\rm C_{3}$に$2V$の電圧がかかる場合

$\rm C_{1}$にかかる電圧は

$2V\times \dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}V$

$\rm C_{2}$にかかる電圧は

$2V\times \dfrac{6}{3}=4V$

これはどちらも耐電圧にある.このとき,AB間の電圧は

$\dfrac{8}{3}V+4V+2V=\dfrac{26}{3}V$ $\cdots (2\ast)$

NEKO
NEKO

以上から$(2\ast)$より,AB間にかかる電圧の最大値は

$\dfrac{26}{3}V$ (答)

コメント

  1. […] [演習] 耐電圧2 直列 コンデンサー3つPHYさん前回の内容はこちらです.… 問題 […]