図のように水平面に平行な面に導体レールp , qが距離$l$を隔てて平行に固定されている．レールp , qに垂直に質量$m$の導体棒を置き，レールp , qを抵抗値$R$の抵抗で接続した．また，導体棒には軽くて伸びない糸がつながれており，この糸の他端には軽い滑車をとおして，質量$2m$のおもりにつながれている．おもりは鉛直方向に動くことができるようになっている．定滑車の摩擦，導体棒とレールの摩擦，抵抗値$R$の抵抗は無視をし，この回路の自己インダクタンスも無視をする．
上図のように，鉛直上向きに磁束密度$B$の一様な磁場をかけ，時刻0で導体棒およびおもりに初速を与えた．初速度の向きはおもりが鉛直上向きに運動する方向で大きさは$v_{0}$である．初速度を与えた直後で糸は張ったままであるとする．このとき，おもりの速度の時間変化として最も適当なものを次の中から選べ．ただし，重力加速度の大きさを$g$とする．また，おもりの鉛直上向きの速度を正とする．
グラフの問題は「感覚的に選ぶ」のではなく，「式を立てて考察する」癖をつけましょう．
確認すべきことは，今までの導体棒の問題と一緒です．
PQ間に生じる誘導起電力の大きさ$V_{\rm{PQ}}$は，PQの長さを$l$，PQ方向に垂直な速さを$v_{\perp}$，導体棒が動く方向と垂直な磁束密度の大きさを$B$とすれば，
$V=v_{\perp}Bl$
- 回路の式（オームの法則，コンデンサーの基本式，電荷保存則など）
- 導体棒の運動に関する式（つり合いの式，運動方程式，運動量保存則など）
- 導体棒と回路の系全体のエネルギー収支の式
★ キルヒホッフ則
導体棒が速度$v$(問題設定通り，導体棒が左方向に移動する方向を正とする．)で動いているときの起電力は$vBl$となる．（※もし，$v<0$であれば，起電力の向きが逆になる．）図のように，鉛直上から見たときに反時計回りに電流$i$が流れるとする．このとき，キルヒホッフ則は
$vBl-Ri=0$
$i=\dfrac{vBl}{R}$ $\cdots (\ast)$
(※もし$v<0$なら，$i<0$となり，電流が時計回りに流れることに対応する．つまり，わざわざ$v$の正負で場合分けをしなくてもよい．)
★ 運動方程式
速度$v$のときの導体棒およびおもりの加速度を$a$とする．張力の大きさを$T$として，導体棒およびおもりの運動方程式を立てると
$ma=-iBl-T$
$2ma=T-2mg$
2式を足して，$T$を消去すると
$3ma=-iBl-2mg$ $\cdots (2\ast)$
$(\ast)$を$(2\ast)$に代入して，$i$を消去すると
$3ma=-\dfrac{B^{2}l^{2}}{R}v-2mg$ $\cdots (\sharp)$
今回も終端速度型の運動方程式になったね．
ということは，$t=0$での$a\,(vtグラフの傾き)$を調べるのと，$t\to \infty$で$a$(傾き)が$0$という性質からグラフを選べばいいね．
質量を$m$，加速度を$a$，速度を$v$，$C$を定数とすると
$ma=-kv+C$
は終端速度型の運動方程式である．
終端速度型の運動方程式は次の特徴がある．
十分時間が経つと，速度が一定（加速度が0）になる．
速度が一定になったときの速度を終端速度という．
終端速度は運動方程式に$a=0$を代入して
$0=-kv+C$ $\therefore v=\dfrac{C}{k}$
また，$t=0$のときの速度を$v_{0}$とすると，そのときの加速度（$v-t$グラフの傾き）は
$a=\dfrac{-kv_{0}+C}{m}$
となる．
$(\sharp)$の式に$t=0$のときの速度$v_{0}$を代入すると，$t=0$のときの$v-t$グラフの傾き(加速度$a_{0}$)がわかります．
$3ma_{0}= -\dfrac{B^{2}l^{2}}{R}v_{0}-2mg $
$\therefore a_{0}=-\dfrac{B^{2}l^{2}}{3mR}v_{0}-\dfrac{2}{3}g\,(<0)$
結果は複雑だけど，傾きが負であることがわかったね．
速度が小さくなっていくと，傾きの絶対値がだんだんと小さくなります．
そして，十分時間が経つと，傾きが$0$(加速度が$0$)になって，速度が変化しなくなります．このときの速度$v_{\infty}$は$(\sharp)$より
$0= -\dfrac{B^{2}l^{2}}{R}v_{\infty}-2mg $
$\therefore v_{\infty}=-\dfrac{2mgR}{B^{2}l^{2}}$
実は途中で，速度が$0$になって，導体棒とおもりは逆方向に動きます．速度が$0$になっても加速度は$-\dfrac{2}{3}g$($\sharp$に$v=0$を代入)なので，まだまだ速度変化がマイナスになるんだね．
ということで，次のようなグラフになります．
答えは③（答）
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