図のように水平面に平行な面に導体レールp , qが距離$l$を隔てて平行に固定されている．レールp , qに垂直に質量$m$の導体棒を置き，レールp , qを抵抗値$R$の抵抗で接続した．また，導体棒には軽くて伸びない糸がつながれており，この糸の他端には軽い滑車をとおして，質量$2m$のおもりにつながれている．おもりは鉛直方向に動くことができるようになっている．定滑車の摩擦，導体棒とレールの摩擦，抵抗値$R$の抵抗は無視をし，この回路の自己インダクタンスも無視をする．
上図のように，鉛直上向きに磁束密度$B$の一様な磁場をかけ，時刻0で導体棒とおもりの固定をはずしたところ，おもりは鉛直下向きに運動を開始した．おもりの速度の時間変化として最も適当なものを次の中から選べ．ただし，重力加速度の大きさを$g$とする．また，おもりの鉛直下向きの速度を正とする．
グラフの問題は「感覚的に選ぶ」のではなく，「式を立てて考察する」癖をつけましょう．
確認すべきことは，今までの導体棒の問題と一緒です．
PQ間に生じる誘導起電力の大きさ$V_{\rm{PQ}}$は，PQの長さを$l$，PQ方向に垂直な速さを$v_{\perp}$，導体棒が動く方向と垂直な磁束密度の大きさを$B$とすれば，
$V=v_{\perp}Bl$
- 回路の式（オームの法則，コンデンサーの基本式，電荷保存則など）
- 導体棒の運動に関する式（つり合いの式，運動方程式，運動量保存則など）
- 導体棒と回路の系全体のエネルギー収支の式
★ キルヒホッフ則
下図のように，速度$v$で動いているときには，導体棒が起電力$vBl$の電池になる．流れる電流の大きさを$I$として，図の向きを正とする．キルヒホッフ則より
$vBl-Ri=0$
$\therefore i=\dfrac{vBl}{R}$ $\cdots (\ast)$
★ 運動方程式
おもりと導体棒の速度が$v$のときの加速度を$a$とする．
おもりには，鉛直下向きに重力$2mg$，張力の大きさを$T$として，鉛直上向きに張力$T$がはたらく．
導体棒には，図の右方向に張力$T$，図の左方向に電磁力$iBl$がはたらく．
導体棒およびおもりの運動方程式より
$ma=T-iBl$ $\cdots (2\ast)$
$2ma=2mg-T$ $\cdots (3\ast)$
$(2\ast)+(3\ast)$より$T$を消去して
$3ma=2mg-iBl$ $\cdots (4\ast)$
$(\ast)$を$(4\ast)$に代入して，$i$を消去すると
$3ma=2mg-\dfrac{vBl}{R}\cdot Bl=-\dfrac{B^{2}l^{2}}{R}v+2mg$ $\cdots (\sharp)$
今回も終端速度型の運動方程式になったね．
ということは，$t=0$での$a\,(vtグラフの傾き)$を調べるのと，$t\to \infty$で$a$(傾き)が$0$という性質からグラフを選べばいいね．
質量を$m$，加速度を$a$，速度を$v$，$C$を定数とすると
$ma=-kv+C$
は終端速度型の運動方程式である．
終端速度型の運動方程式は次の特徴がある．
十分時間が経つと，速度が一定（加速度が0）になる．
速度が一定になったときの速度を終端速度という．
終端速度は運動方程式に$a=0$を代入して
$0=-kv+C$ $\therefore v=\dfrac{C}{k}$
また，$t=0$のときの速度を$v_{0}$とすると，そのときの加速度（$v-t$グラフの傾き）は
$a=\dfrac{-kv_{0}+C}{m}$
となる．
$(\sharp)$の式に$t=0$のときの速度$v=0$を代入すると，
$3ma=2mg$
$\therefore a=\dfrac{2}{3}g$
で，正の傾きからスタートして，速度$v$が大きくなるほど，$a$が小さくなり，$vt$グラフの傾きも小さくなるんだね．そして，$t\to\infty$で，$a=0$になるから，そのときの速度$v_{\infty}$は$(\sharp)$より
$0= -\dfrac{B^{2}l^{2}}{R}v_{\infty}+2mg $
$v_{\infty}=\dfrac{2mgR}{B^{2}l^{2}}$
これらを踏まえて，答えは④（答）です．
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