導体棒のグラフ対策2

分野別
問題

図のように水平面に平行な面に導体レールp , qが距離$l$を隔てて平行に固定されている.レールp , qに垂直に質量$m$の導体棒を置き,レールp , qを抵抗値$R$の抵抗で接続した.また,導体棒には軽くて伸びない糸がつながれており,この糸の他端には軽い滑車をとおして,質量$2m$のおもりにつながれている.おもりは鉛直方向に動くことができるようになっている.定滑車の摩擦,導体棒とレールの摩擦,抵抗値$R$の抵抗は無視をし,この回路の自己インダクタンスも無視をする.

上図のように,鉛直上向きに磁束密度$B$の一様な磁場をかけ,時刻0で導体棒とおもりの固定をはずしたところ,おもりは鉛直下向きに運動を開始した.おもりの速度の時間変化として最も適当なものを次の中から選べ.ただし,重力加速度の大きさを$g$とする.また,おもりの鉛直下向きの速度を正とする.

PHYさん
PHYさん

グラフの問題は「感覚的に選ぶ」のではなく,「式を立てて考察する」癖をつけましょう.

確認すべきことは,今までの導体棒の問題と一緒です.

導体棒に生じる誘導起電力の公式(直線運動)

PQ間に生じる誘導起電力の大きさ$V_{\rm{PQ}}$は,PQの長さを$l$,PQ方向に垂直な速さを$v_{\perp}$,導体棒が動く方向と垂直な磁束密度の大きさを$B$とすれば,

$V=v_{\perp}Bl$

導体棒の問題で立てて欲しい3つの式
  1. 回路の式(オームの法則,コンデンサーの基本式,電荷保存則など)
  2. 導体棒の運動に関する式(つり合いの式,運動方程式,運動量保存則など)
  3. 導体棒と回路の系全体のエネルギー収支の式

★ キルヒホッフ則

下図のように,速度$v$で動いているときには,導体棒が起電力$vBl$の電池になる.流れる電流の大きさを$I$として,図の向きを正とする.キルヒホッフ則より

$vBl-Ri=0$

$\therefore i=\dfrac{vBl}{R}$ $\cdots (\ast)$

★ 運動方程式

おもりと導体棒の速度が$v$のときの加速度を$a$とする.

おもりには,鉛直下向きに重力$2mg$,張力の大きさを$T$として,鉛直上向きに張力$T$がはたらく.

導体棒には,図の右方向に張力$T$,図の左方向に電磁力$iBl$がはたらく.

導体棒およびおもりの運動方程式より

$ma=T-iBl$ $\cdots (2\ast)$

$2ma=2mg-T$ $\cdots (3\ast)$

$(2\ast)+(3\ast)$より$T$を消去して

$3ma=2mg-iBl$ $\cdots (4\ast)$

$(\ast)$を$(4\ast)$に代入して,$i$を消去すると

$3ma=2mg-\dfrac{vBl}{R}\cdot Bl=-\dfrac{B^{2}l^{2}}{R}v+2mg$ $\cdots (\sharp)$

NEKO
NEKO

今回も終端速度型の運動方程式になったね.

ということは,$t=0$での$a\,(vtグラフの傾き)$を調べるのと,$t\to \infty$で$a$(傾き)が$0$という性質からグラフを選べばいいね.

終端速度型の運動方程式

質量を$m$,加速度を$a$,速度を$v$,$C$を定数とすると

$ma=-kv+C$

は終端速度型の運動方程式である.

終端速度型の運動方程式は次の特徴がある.

十分時間が経つと,速度が一定(加速度が0)になる.

速度が一定になったときの速度を終端速度という.

終端速度は運動方程式に$a=0$を代入して

$0=-kv+C$ $\therefore v=\dfrac{C}{k}$

また,$t=0$のときの速度を$v_{0}$とすると,そのときの加速度($v-t$グラフの傾き)は

$a=\dfrac{-kv_{0}+C}{m}$

となる.

NEKO
NEKO

$(\sharp)$の式に$t=0$のときの速度$v=0$を代入すると,

$3ma=2mg$

$\therefore a=\dfrac{2}{3}g$

で,正の傾きからスタートして,速度$v$が大きくなるほど,$a$が小さくなり,$vt$グラフの傾きも小さくなるんだね.そして,$t\to\infty$で,$a=0$になるから,そのときの速度$v_{\infty}$は$(\sharp)$より

$0= -\dfrac{B^{2}l^{2}}{R}v_{\infty}+2mg $

$v_{\infty}=\dfrac{2mgR}{B^{2}l^{2}}$

これらを踏まえて,答えは④(答)です.

コメント

  1. […] 導体棒のグラフ対策2PHYさん前回の内容はこちらです.問題図のように水平… 問題 […]