導体棒の磁場中の運動の
・速度の時間変化
・電流の時間変化
は入試でもよくみかけます．
今回からは，グラフの問題について何回かに分けて対策していきましょう．
図のように，平行に固定された導体レールp,qと抵抗値$R$の抵抗と長さ$l$の導体棒を用いて回路をつくった．いま，図の奥から手前向きに一様な磁束密度$B$の磁場をかけた状態で導体棒に時刻$t=0$で右向きに大きさ$v_{0}$の初速度を与えた．このとき，導体棒の速度の時間変化として最も適当なものを，次の①～④の中から選べ．ただし，抵抗値$R$以外の抵抗は無視をし，摩擦や空気抵抗も無視をする．また，速度の正の向きは初速度の向きである．
グラフの問題は「感覚的に選ぶ」のではなく，「式を立てて考察する」癖をつけましょう．
確認すべきことは，今までの導体棒の問題と一緒です．
PQ間に生じる誘導起電力の大きさ$V_{\rm{PQ}}$は，PQの長さを$l$，PQ方向に垂直な速さを$v_{\perp}$，導体棒が動く方向と垂直な磁束密度の大きさを$B$とすれば，
$V=v_{\perp}Bl$
- 回路の式（オームの法則，コンデンサーの基本式，電荷保存則など）
- 導体棒の運動に関する式（つり合いの式，運動方程式，運動量保存則など）
- 導体棒と回路の系全体のエネルギー収支の式
★ キルヒホッフ則
下図のように，速度$v$で動いているときには，導体棒が起電力$vBl$の電池になる．流れる電流の大きさを$I$として，図の向きを正とする．キルヒホッフ則より
$vBl-RI=0$
$\therefore I=\dfrac{vBl}{R} \cdots (\ast)$
★ 運動方程式
図のように，電流が上側から下側に流れるので，電磁力は左方向にはたらく．（フレミング左手の法則）その大きさは$IBl$．速度$v$のときの導体棒の加速度を$a$，導体棒の質量を$m$とすると，導体棒の運動方程式より
$ma=-IBl$ $\cdots (2\ast)$
$(\ast)$を$(2\ast)$に代入して
$ma=-\dfrac{vBl}{R}\cdot Bl=-\dfrac{B^{2}l^{2}}{R}v$
この形の運動方程式は，導体棒の問題でよく出きます．
こちらの記事でも紹介しているので，ご確認ください．
質量を$m$，加速度を$a$，速度を$v$，$C$を定数とすると
$ma=-kv+C$
は終端速度型の運動方程式である．
終端速度型の運動方程式は次の特徴がある．
十分時間が経つと，速度が一定（加速度が0）になる．
速度が一定になったときの速度を終端速度という．
終端速度は運動方程式に$a=0$を代入して
$0=-kv+C$ $\therefore v=\dfrac{C}{k}$
また，$t=0$のときの速度を$v_{0}$とすると，そのときの加速度（$v-t$グラフの傾き）は
$a=\dfrac{-kv_{0}+C}{m}$
となる．
$ma=-\dfrac{B^{2}l^{2}}{R}v$ の式から
$a=-\dfrac{B^{2}l^{2}}{mR}v$
と変形したときの$v-t$グラフを考えればいいんだね．
時刻0のとき，速度が$v_{0}$だから，加速度$a_{0}$は
$a_{0}=-\dfrac{B^{2}l^{2}}{mR}v_{0} (<0)$
で，加速度が負のため，どんどん速さが小さくなります．
そして，速度の大きさが小さくなるたび，加速度の絶対値が小さくなるので，$v-t$グラフの傾きが小さくなるんだね．
ただ，速度がどんどん小さくなるのであれば，速度がマイナスになったりするんじゃないの？？
いえ，そうはなりません．
$a=-\dfrac{B^{2}l^{2}}{mR}v$
の式によれば ，$v=0$となると，$a=0$となり，加速度が0なので，速度が変化しなくなります．なので，速度がマイナスになることはありません．
（この手の運動方程式は，十分時間が経つと加速度が0になることを覚えておいてもよいです．加速度が0であって，速度が0とは限りません．）
②は，速度がマイナスになっているから×だね．
③は，はじめの傾きが正なので×．
④は，一見よさそうだけど，傾き$a$は一定ではなく，速度によって変わっていくんだね．だから×．
正解は①です．
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