高校物理出てくる運動方程式3つ！+α

以下，質量を$m$，加速度を$a$，座標を$x$，速度を$v$，定数を$C$，正の比例定数を$k$，中心力を$\vec{C}$とする．

①　$ma=C$

　等加速度運動

②　$ma=-kx+C$

　単振動

③　$ma=-kv+C$

　終端速度型の運動

※$+\alpha$　$m\vec{a}=\vec{C}$

　円運動（今回は扱いません）

物体は加速度$a$で$x$軸上を運動している．$t=0$において，原点にある物体が，時刻$t$に座標$x$に移動した．初速度を$v_{0}$，時刻$t$における速度を$v$とするとき，次の関係式が成り立つ．

$v=v_{0}+at$　$\dots　(\ast)$

$x=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^2$　$\dots　(2\ast)$

$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$　$\dots　(3\ast)$

質量を$m$，加速度を$a$，座標を$x$，正の定数を$k$，定数を$x_{0}$とすると，単振動の運動方程式は

$ma=-k(x-x_{0})$

このとき，次の情報を読み取ることができる．

• 振動の中心$x=x_{0}$
• 角振動数$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$
• 振動の周期$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

また，単振動の振幅を$A$，初期位相を$\phi$とすると，座標$x$と時間の関係は次のようになる．

$x=x_{0}+A\sin(\omega t+\phi)$

質量を$m$，加速度を$a$，速度を$v$，$C$を定数とすると

$ma=-kv+C$

は終端速度型の運動方程式である．

終端速度型の運動方程式は次の特徴がある．

十分時間が経つと，速度が一定（加速度が0）になる．

速度が一定になったときの速度を終端速度という．

終端速度は運動方程式に$a=0$を代入して

$0=-kv+C$　$\therefore　v=\dfrac{C}{k}$

また，$t=0$のときの速度を$v_{0}$とすると，そのときの加速度（$v-t$グラフの傾き）は

$a=\dfrac{-kv_{0}+C}{m}$

となる．

①　$ma=C$　等加速度運動

　等加速度運動の式

$v=v_{0}+at$

$x=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^2$

$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$

　を立てて解く．

②　$ma=-kx+C$　単振動

　$ma=-k(x-x_{0})$と変形して，中心$x=x_{0}$と角振動数$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$と周期$T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$を求める．

　次に，初期条件から振幅や初期位相を求める．

③　$ma=-kv+C$　終端速度型

　十分時間が経つと，速度が一定になると覚えておく．

　つまり，終端速度は$a=0$のときで$v=\dfrac{C}{k}$

　また，$t=0$の加速度をきかれることも多いので，運動方程式に代入して計算する．