斜面上の運動(摩擦あり）　導体棒の磁場中の運動演習⑧[基本]

<解答>

$vBl\cos\theta=Ri$

$\therefore　i=\dfrac{vBl\cos\theta}{R}$　$\dots　(\ast)$

★斜面垂直方向のつり合いの式

$N=mg\cos\theta +iBl\sin\theta$　$\dots　(2\ast)$

★斜面方向の運動方程式

$ma=mg\sin\theta-\mu N-iBl\cos\theta$

$(2\ast)$の$N=mg\cos\theta +iBl\sin\theta$を代入して

$\eqalign{ma&=mg\sin\theta-\mu(mg\cos\theta +iBl\sin\theta)-iBl\cos\theta\\&=(\sin\theta-\mu\cos\theta)mg-iBl(\mu\sin\theta+\cos\theta)}$

$(\ast)$の$i=\dfrac{vBl\cos\theta}{R}$を代入して

$\eqalign{ma&=(\sin\theta-\mu\cos\theta)mg-\dfrac{vBl\cos\theta}{R}Bl(\mu \sin\theta+\cos\theta)\\&=-\dfrac{B^{2}l^{2}\cos\theta}{R}(\mu \sin\theta+\cos\theta)v+(\sin\theta-\mu\cos\theta)mg}$

もう一度書き直して

$ma=-\dfrac{B^{2}l^{2}\cos\theta}{R}(\mu \sin\theta+\cos\theta)v+(\sin\theta-\mu\cos\theta)mg$　$\dots　(3\ast)$

$0=-\dfrac{B^{2}l^{2}\cos\theta}{R}(\mu \sin\theta+\cos\theta)v+(\sin\theta-\mu\cos\theta)mg$

$\therefore$　$v=\dfrac{\sin\theta-\mu\cos\theta}{\mu\sin\theta+\cos\theta}\cdot\dfrac{mgR}{B^{2}l^{2}\cos\theta}$

(2)　このとき，$(\ast)$の$i=\dfrac{vBl\cos\theta}{R}$より

$i=\dfrac{\sin\theta-\mu\cos\theta}{\mu\sin\theta+\cos\theta}\cdot \dfrac{mg}{Bl}$

なので，抵抗Rで消費される電力$P$は

$\displaystyle{\eqalign{P&=i^{2}R\\&=\left\{\dfrac{\sin\theta-\mu\cos\theta}{\mu\sin\theta+\cos\theta}\cdot \dfrac{mg}{Bl}\right\}^{2}R}}$