保存力と力学的エネルギー

分野別
NEKO
NEKO

次のような方のための記事です.

  • 保存力と非保存力の区別がつかない.
  • 力学的エネルギー保存則の式は立てられるものの,力学的エネルギー保存則がどこから導出できるかがわかっていない.
  • ゆっくりと動かしたときの保存力がする仕事と非保存力がする仕事の関係を知りたい.

保存力とは

PHYさん
PHYさん

保存力とは,経路によらず最初と最後の位置だけで仕事が決まる力のことを言います.

まずは,次の図のときを考えてみましょう.

PHYさん
PHYさん

上図のとき,Aから直接Dの場所に行く場合の重力がする仕事$W_{1}$はどのくらいでしょうか?

NEKO
NEKO

A→Dは重力の方向に$h$だけ移動しているから,重力がした仕事は$W_{1}=mgh$だね.

仕事の計算を復習しておきましょう.

仕事

力×変位を仕事という.

しかし,等加速度運動の式から導いたことから,次のルールが加わる.

① 力は一定である.もし一定でないのであれば,一定とみなせるくらい細かく分解して足し合わせる(積分する.).

② 力の方向と移動する方向が一致する場合は正の仕事,反対方向の場合は負の仕事である.

③ 力の方向と移動する方向が一直線上にない場合は,仕事の大きさについて次のどちらかで計算をする.

  • 力×力の方向に移動した距離 で計算.
  • 力を移動する方向に分解して計算
PHYさん
PHYさん

そうですね.

では,A→B→C→Dまでに重力がした仕事$W_{2}$はいくらでしょう?

NEKO
NEKO

A→Bまでは,重力は反対方向に$2h$移動しているから$mg\cdot (-2h)=-2mgh$

B→Cまでは,重力の方向に$h$だけ移動しているから$mgh$

C→Dまでは,重力と同じ方向に$2h$進んでいるから$mg\cdot 2h=2mgh$

合計,

$-2mgh+mgh+2mgh=mgh$

だから,$W_{2}=mgh$だね.

PHYさん
PHYさん

$W_{1}=W_{2}$となっていますね.

重力は最初と最後の位置が定まれば,どんな経路を描いても仕事が同じとなります.

このような経路によらない,保存力は次のものを覚えておけばよいでしょう.

  • 重力
  • 万有引力
  • 弾性力
  • 静電気力(クーロン力)
  • 観測者が等加速度直線運動しているときの慣性力
NEKO
NEKO

逆に,経路によって仕事が変化するものはどんなもの?

PHYさん
PHYさん

摩擦力や張力,垂直抗力など,上にかいてあるもの以外の力です.

たとえば,摩擦力は短い経路と長い経路では,摩擦力がする仕事に差が出ます.

NEKO
NEKO

経路によらず,最初と最後の位置だけで仕事が決まると,どのようにエネルギーが変化するのかが予想しやすいね.

PHYさん
PHYさん

そうなんです.

保存力は最初と最後の位置で仕事が決まるので,あらかじめどの程度仕事をしてくれるのかがわかります.

次は位置エネルギーの話です.

位置エネルギー

PHYさん
PHYさん

たとえば,Bの位置から見たときにAにある物体の重力がする仕事を考えてみましょう.

Aの位置にある物体にはたらく重力はどのような経路にせよ,Bにいくまでに$mgh$の仕事をすることが約束されています.

NEKO
NEKO

Bにいる位置から見ればAの物体は$mgh$の仕事をする潜在的な能力を持っているということだね.

PHYさん
PHYさん

はい.この潜在的なエネルギーを位置エネルギー(ポテンシャルエネルギー)といいます.

Bからみれば,Aにある物体は$mgh$の位置エネルギーを持っています.

NEKO
NEKO

逆にBからみて,Cは仕事をする能力が$mgh$分だけ少ないから,位置エネルギーは$-mgh$ってことかな?

PHYさん
PHYさん

そうなります.

では,問題演習をやってみましょう.

重力による位置エネルギーのまとめ

質量が$m$,重力加速度が$g$であるとき,基準点より鉛直上向きに$h$の場所での位置エネルギー$U_{1}$は

$U_{1}=mgh$

基準点より鉛直下向きに$h$の場所での位置エネルギー$U_{2}$は

$U_{2}=-mgh$

となる.

問題

図のように,下向きに重力$mg$がかかっている.次の場合の重力による位置エネルギーを計算せよ.

(1) Dを基準としたときのAの位置エネルギー$U_{1}$を求めよ.

(2) Cを基準にしたときのBの位置エネルギー$U_{2}$を求めよ.

(3) Aを基準としたCの位置エネルギー$U_{3}$を求めよ.また,CからAまでに重力がした仕事$W_{3}$を求めよ.

<解答>

(1) AはDより鉛直上方向$3h$の場所にあるから位置エネルギーは$U_{1}=$$3mgh$

(2) BはCより鉛直上方向$h$の場所にあるから位置エネルギーは$U_{2}=$$mgh$

(3) CはAより鉛直下方向$2h$の場所にあるから位置エネルギーは$U_{3}=$$-2mgh$

一般的な位置エネルギーの計算の仕方

NEKO
NEKO

他の位置エネルギーはどのように考えればいいの?

PHYさん
PHYさん

保存力と同じ大きさの力を保存力の向きとは反対方向に外力が仕事をした分だけ位置エネルギーが蓄えられます.

NEKO
NEKO

疑問がたくさんでてくる.

  1. そもそも同じ大きさの力を加えても動かないはず.
  2. なぜ,外力の仕事を考えるのか??

同じ大きさの力を加えても動かない??

PHYさん
PHYさん

これは結構間違う人が多いのですが,結論から言うと動きます.

力の和が0であることは加速度が0であって,速度が0であるとは言えません.

運動方程式

$ma=F$

からもわかると思います.

NEKO
NEKO

最初に初速を与えておいて,力の合力を0にして動かすっていうこと??

なぜ外力がした仕事を計算するのか.

PHYさん
PHYさん

そういうことです.

要は運動エネルギーが変化しないようにしたいんです.

エネルギーの原理を考えれば,

$\dfrac{1}{2}mv^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=$外力がした仕事

でした.

NEKO
NEKO

そうか!外力がした仕事を$W_{外力}$,保存力がする仕事を$W_{保存力}$とすると,運動エネルギーが変化しないときは,次のようになるんだ.

$0=W_{外力}+W_{保存力}$ $\therefore W_{保存力}=-W_{外力}$ $\dots (\ast)$

PHYさん
PHYさん

そういうことです.

さらに,$W_{保存力}$と位置エネルギーの変化$\Delta U$の関係について考えましょう.

PHYさん
PHYさん

たとえば,AからBに移動するときを考えましょう.

AからBに移動する間に重力がした仕事$W_{1}$

はいくらでしょう?

また,AからBに移動する間の位置エネルギーの変化$\Delta U_{1}$

はいくらでしょう?

NEKO
NEKO

AからBでは重力がはたらく方向と移動の方向が一致しているから正の仕事だね.

$W_{1}=mg\cdot h$

あと,位置エネルギーの変化はAを基準にとると,Bは鉛直下向きに$h$の場所にあるから

$U_{1}=-mgh$

だね.

PHYさん
PHYさん

それでは,BからAに移動する場合を考えましょう.

BからAに移動する間に重力がした仕事$W_{2}$と,位置エネルギーの変化$\Delta U_{2}$を求めてください.

NEKO
NEKO

BからAに移動するとき,重力のはたらく方向と移動する方向が逆だから負の仕事だね.だから

$W_{2}=-mgh$

そして,Bを基準にすると,AはBより鉛直上向き$h$の場所にあるから位置エネルギーの変化は

$\Delta U_{2}=mgh$

NEKO
NEKO

位置エネルギーの変化を$\Delta U$,保存力がした仕事を$W_{保存力}$とすると,

$\Delta U=-W_{保存力}$ $\dots (2\ast)$

の関係があるんだね.

PHYさん
PHYさん

そうなんです.

保存力が正の仕事をした分,位置エネルギーが使われてしまい,保存力が負の仕事をすると,位置エネルギーが蓄えられます.

$(\ast)$の$W_{保存力}=-W_{外力}$と$(2\ast)$の$\Delta U=-W_{保存力}$から次の式を得ます.

$\Delta U=W_{外力}$

NEKO
NEKO

つまり,運動エネルギーの変化が0であるとき,外力がした仕事の分だけ位置エネルギーの変化を計算できるわけだね.

力学的エネルギーの変化=非保存力がした仕事

PHYさん
PHYさん

それでは,最後に運動エネルギーの原理を変形しておしまいにしましょう.

運動エネルギーの変化を$\Delta K$,保存力がする仕事を$W_{保存力}$,非保存力がする仕事を$W_{非保存力}$とします.

エネルギーの原理より

$\Delta K=W_{保存力}+W_{非保存力}$ $\dots (\clubsuit)$

また,位置エネルギーの変化を$\Delta U$として,

$W_{保存力}=-\Delta U$ $\dots (\spadesuit)$

$(\spadesuit)$を$(\clubsuit)$に代入して

$\Delta K=-\Delta U+W_{非保存力}$

$\therefore$ $\Delta K+\Delta U=W_{非保存力}$

NEKO
NEKO

左辺が力学的エネルギーの変化,右辺が非保存力がする仕事,だね.

非保存力がする仕事が0のとき,力学的エネルギーが保存するんだね.

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