[ヤングの実験]明暗の条件

それでは，まずヤングの実験の概要から話しをします．

上図のように，単スリットと2スリットとスクリーンを平行において，単スリットに光をあてると，スクリーンに明暗の縞模様ができます．

単スリット$\rm S$から出てきた光が$\rm S_{1}$と$\rm S_{2}$を通りそれぞれから波が回折し，スクリーンで干渉します．

単スリットは光源を点光源（大きさが非常に小さい光源）にする役割があります．

簡単に言えば，これをしないと，位相がバラバラのものがスクリーンで重ね合わさるのでうまく縞模様ができなくなります．

はい．

誇張して書いてあります．

実際は，次のように，スリット間の距離はかなり近いですし，スリットとスクリーンの距離は割と遠いです．

下図を参照してください．（これでも図の限界でちゃんとはかけていません）

おっしゃる通り，かなり距離の差は小さいです．

そもそも可視光線の波長が$10^{-7}{\rm m}$ほどなので，距離の差もそのくらいです．

ヤングの実験における明暗の条件をまとめておきましょう．

$\rm S_{1}$と$\rm S_{2}$の中点からスクリーンにおろした垂線の足を$\rm O$とします．

$\rm O$を原点として，上方向に$x$座標をとります．

スクリーン上の任意の点を$\rm P$とすると，明暗の条件は次のようになります．

ちなみに，次のことを確認しておきましょう．

そうですね．

ただ，左辺が正の数とは限らないので，正確には右辺の絶対値が波の数を表しています．

求め方はいくつかあります．

そのうち，オーソドックスな計算と，少し楽な計算の2つを紹介しましょう．

三平方の定理と近似式を使います．

では，まずは三平方の定理です．

ここで，$L$は，$d$や$x$比べて十分大きいので，次の近似式を使うことができます．

次の近似は一見「？？」となりますが，計算自体は楽なのでおすすめです．

$\rm S_{1}$から$\rm S_{2}P$に垂線を下し，その足を$\rm H$とします．

すると，$\rm S_{1}P$と$\rm HP$がほぼ等しいので$\rm S_{2}H$が経路差になります．

$\angle \rm S_{2}S_{1}H=\theta$とすると，${\rm S_{1}S_{2}}=d$であるから

${\rm S_{2}H}=d\sin\theta$

となります．

ここで，$|\theta|$が小さいときに使える近似式

$\sin\theta \approx \tan\theta$

より

${\rm S_{2}H}=d\sin\theta\approx d\tan \theta$　$\dots　\clubsuit$

となります．

一方，$\rm S_{1}$と$\rm S_{2}$の中点を$\rm S_{0}$とすると，$\rm S_{0}P$と$ \rm S_{2}P$が平行とみなせるので，$\angle \rm OS_{0}P=\theta$とします．

すると，$\triangle{\rm OS_{0}P}$について

$\tan\theta=\dfrac{x}{L}$

となります．

したがって，$\clubsuit$より

${\rm S_{2}H}=d\sin\theta \approx d\tan\theta \approx d\cdot \dfrac{x}{L}$