今回は，縦軸が圧力$p$，横軸が体積$V$の$pV$図から，縦軸が絶対温度$T$，横軸が体積$V$の$TV$図の変換に関する問題を扱います．
入試でもときどきみかけますね．
縦軸が理想気体の圧力$p$，横軸が体積$V$である，上図の$pV$図において，状態Aの圧力は$p_{0}$，体積は$V_{0}$，絶対温度は$T_{0}$であった．
また，状態B，C，Dの圧力はそれぞれ，$3p_{0}$，$3p_{0}$，$p_{0}$，体積はそれぞれ$V_{0}$，$4V_{0}$，$4V_{0}$である．
状態A→B→C→Dのように状態を変化させるとき，次の問いに答えよ．
(1) 状態B，C，Dの絶対温度$T_{\rm B}$，$T_{\rm C}$，$T_{\rm D}$を求めよ．
(2) 上図の$pV$図を縦軸が絶対温度$T$，横軸が体積$V$である$TV$図に書き直せ．
<解答>
(1)
絶対温度については，次のことを利用しましょう．
絶対温度は状態の点から$p$軸$V$軸へ下した垂線の足と原点でつくられる長方形の面積に比例する．
上図をみれば，Aの絶対温度が$T_{0}$なので，Bは3倍の$3T_{0}$，Cは$12T_{0}$，Dは$4T_{0}$となるね．
答え：$T_{\rm B}=3T_{0}$，$T_{\rm C}=12T_{0}$，$T_{\rm D}=4T_{0}$
(2)
さて，ここからが本題です．
まずは，状態Aから状態Bまでの変化を考えていきましょう．
状態Aから状態Bまでの変化は，定積変化です．
そして，絶対温度が上昇していくので，下図の青色部分のようになりますね．
そして，状態Bから状態Cまでは定圧変化です．
定圧変化の$TV$図は次のようになります．
このとき，直線BCは原点を通ることに注意しましょう．
理由は次の通りです．
圧力$p$，物質量$n$が一定のとき，体積$V$，絶対温度を$T$，気体定数を$R$として，理想気体の状態方程式より
$p$$V$$=nR$$T$
$T$$=\dfrac{p}{nR}$$V$
これは，
$y$$=a$$x$
に対応させて考えれば，圧力が一定のとき，$TV$図のグラフは原点を通るような直線の一部であることがわかかる．
さらに，CからDの変化は体積を$4V_{0}$にしたまま，温度を下げていきます．
最後に，DからAも定圧変化なので，原点Oを通る直線の一部になっています．
以上より，$TV$図は下のようになります．
BからCとDからAのグラフの鉛直線が原点Oを通っているところがポイントだね．
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