$pV$図から$TV$図へ①

分野別
PHYさん
PHYさん

今回は,縦軸が圧力$p$,横軸が体積$V$の$pV$図から,縦軸が絶対温度$T$,横軸が体積$V$の$TV$図の変換に関する問題を扱います.

入試でもときどきみかけますね.

問題

縦軸が理想気体の圧力$p$,横軸が体積$V$である,上図の$pV$図において,状態Aの圧力は$p_{0}$,体積は$V_{0}$,絶対温度は$T_{0}$であった.

また,状態B,C,Dの圧力はそれぞれ,$3p_{0}$,$3p_{0}$,$p_{0}$,体積はそれぞれ$V_{0}$,$4V_{0}$,$4V_{0}$である.

状態A→B→C→Dのように状態を変化させるとき,次の問いに答えよ.

(1) 状態B,C,Dの絶対温度$T_{\rm B}$,$T_{\rm C}$,$T_{\rm D}$を求めよ.

(2) 上図の$pV$図を縦軸が絶対温度$T$,横軸が体積$V$である$TV$図に書き直せ.

<解答>

(1)

NEKO
NEKO

絶対温度については,次のことを利用しましょう.

$pV$図の読みとり① 絶対温度

絶対温度は状態の点から$p$軸$V$軸へ下した垂線の足と原点でつくられる長方形の面積に比例する.

NEKO
NEKO

上図をみれば,Aの絶対温度が$T_{0}$なので,Bは3倍の$3T_{0}$,Cは$12T_{0}$,Dは$4T_{0}$となるね.

答え:$T_{\rm B}=3T_{0}$,$T_{\rm C}=12T_{0}$,$T_{\rm D}=4T_{0}$

(2)

PHYさん
PHYさん

さて,ここからが本題です.

まずは,状態Aから状態Bまでの変化を考えていきましょう.

状態Aから状態Bまでの変化は,定積変化です.

そして,絶対温度が上昇していくので,下図の青色部分のようになりますね.

PHYさん
PHYさん

そして,状態Bから状態Cまでは定圧変化です.

定圧変化の$TV$図は次のようになります.

PHYさん
PHYさん

このとき,直線BCは原点を通ることに注意しましょう.

理由は次の通りです.

圧力$p$,物質量$n$が一定のとき,体積$V$,絶対温度を$T$,気体定数を$R$として,理想気体の状態方程式より

$p$$V$$=nR$$T$

$T$$=\dfrac{p}{nR}$$V$

これは,

$y$$=a$$x$

に対応させて考えれば,圧力が一定のとき,$TV$図のグラフは原点を通るような直線の一部であることがわかかる.

PHYさん
PHYさん

さらに,CからDの変化は体積を$4V_{0}$にしたまま,温度を下げていきます.

PHYさん
PHYさん

最後に,DからAも定圧変化なので,原点Oを通る直線の一部になっています.

NEKO
NEKO

以上より,$TV$図は下のようになります.

BからCとDからAのグラフの鉛直線が原点Oを通っているところがポイントだね.

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