上図のように，水平な床の上に，質量$M$の台Aがあり，Aは，ばね定数$k$の軽いばねにつながれている．
ばねの他端は壁に固定されていて，はじめは自然長の状態でAとともに静止している．
Aの上に，質量$m$のBが置かれている．
Aと水平な床の間には，摩擦力がはたらかないが，AとBの間には摩擦力がはたらき，静止摩擦係数を$\mu$とする．
いま，Aを自然長の状態から距離$l$だけ右へ移動させ，その後手を放すとAとBは初速度0で単振動をはじめた．
このとき，BがAの上をすべらないで単振動するための$l$の条件を求めよ．
<解答>
単振動の問題なので，まずは運動方程式を立てて運動を把握しましょう．
自然長を原点として，上図の右向きを正とします．
Aの左端が座標$x$のときの運動方程式を立てます．
AとBの加速度を$a$とします．
すると，Aの上にいる観測者からみたら，Bにはたらく力は慣性力$ma$と静止摩擦力$f$がはたらきます．
また，Aには，弾性力$kx$と，Bの間の摩擦力$f$がはたらきます．
★ Aの運動方程式
$Ma=-kx-f$ $\dots (\ast)$
★ AからみたBのつり合い（または，Bの運動方程式）
$ma=f$ $\dots (2\ast)$
$(\ast)$，$(2\ast)$より$f$を消去して，$a$を求める．
$(M+m)a=-kx$ $\dots (\heartsuit)$
$\therefore$ $a=-\dfrac{k}{M+m}x$
さらに，この結果を$(2\ast)$に代入して
$f=m\cdot (-\dfrac{k}{M+m}x)$ $\dots (\clubsuit)$
$(\clubsuit)$の結果から，静止摩擦力の大きさ$|f|$は
$|f|=\dfrac{mk}{M+m}|x|$
となるんだね．
だから，静止摩擦力の大きさは原点からの距離で決まるんだね．
一方，$(\heartsuit)$の運動方程式から，振動の中心は原点なので，振幅は，はじめに引き伸ばした距離$l$になるね．
ということは，静止摩擦力の最大値$f_{\rm max}$は
$f_{\rm max}=\dfrac{mk}{M+m}l$
となるんだ．
この摩擦力が最大静止摩擦力$\mu mg$を超えなければいいんだね．
★ すべらない条件
$\dfrac{mk}{M+m}l\leqq \mu mg$
$\therefore$ $l\leqq \dfrac{\mu (M+m)g}{k}$
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