図のように，長さ$l$で質量の無視できる棒によってつながれた，質量$M$の物体$\rm A$と質量$m$の物体$\rm B$の運動を考える．ただし，$M>m$とする．棒は物体$\rm A$および物体$\rm B$に対してなめらかなに回転でき，棒が鉛直方向となす角を$\theta$とする．はじめ，物体$\rm A$は水平な床の上で鉛直な壁と接していた．一方，物体$\rm B$は物体$\rm A$の真上$(\theta=0^{\circ})$から初速度$0$で右側へ動きはじめた．その後の運動について，次の問いに答えよ．なお，重力加速度の大きさを$g$として，物体$\rm A$と物体$\rm B$の大きさは考えなくてよい．また，物体$\rm A$および物体$\rm B$との間にはたらく力は棒に平行である．
物体$\rm A$と床との間に摩擦がないとする．
(1) 物体$\rm B$が動きだしてからしばらくの間は，物体$\rm A$は壁に接したままであった．この間の物体$\rm B$の速さ$v$を$\theta$を含んだ式で表せ．
(2) (1)のとき，棒から物体$\rm B$にはたらく力$F$を，$\theta$を含んだ式で表せ．棒が物体$\rm B$を押す向きを正とする．
(3) $\theta=\alpha$において，物体$\rm A$から壁から離れて床の上をすべりはじめた．$\cos\alpha$を求めよ．
(4) $\theta=\alpha$における物体$\rm B$の運動量の水平成分$P$を求めよ．
(5) 物体$\rm B$が物体$\rm A$の真横$(\theta=90^{\circ})$にきたときの，物体$\rm A$の速さ$V$を$P$を含んだ式で表せ．
<解答>
(1)
水平面を重力による位置エネルギーを基準として力学的エネルギー保存則を立てましょう．
★ 力学的エネルギー保存則
$\eqalign{\dfrac{1}{2}mv^{2}+mgl\cos\theta&=\dfrac{1}{2}m\cdot 0^{2}+mgl\cr \dfrac{1}{2}mv^{2}&=mgl(1-\cos\theta)}$
$\therefore v=\sqrt{2gl(1-\cos\theta)}$ (答)
(2)
$\rm B$は円運動しているので，円運動の運動方程式を立てて力$F$を求めます．重力$mg$の向心方向成分は上図のように，$mg\cos\theta$です．
半径$r$，円運動の接線方向の速さを$v$，角速度を$\omega$とすると，向心加速度の大きさ$a$は
$a=\dfrac{v^{2}}{r}=r\omega^{2}$
向心加速度の向きは円運動の中心
★ $\rm B$の向心方向の運動方程式
$m\dfrac{v^{2}}{l}=mg\cos\theta-F$
(1)の$v=\sqrt{2gl(1-\cos\theta)}$より，
$\eqalign{F&=mg\cos\theta-m\dfrac{v^{2}}{l}\\&=mg\cos\theta-m\dfrac{1}{l}\{2gl(1-\cos\theta)\}\\&=(3\cos\theta-2)mg}$
したがって，$F=(3\cos\theta-2)mg$（答）
(3)
上図のように物体$\rm A$にはたらく水平方向の力を考えます．
このとき，壁が物体$\rm A$を押す力を$N$としたとき，$N=0$で物体$\rm A$が壁から離れます．
★ 物体$\rm A$の水平方向のつり合い（$N=0$のとき）
$F\sin\theta=0$
(2)より，$F=(3\cos\theta-2)mg$なので，$F=0$である条件は，$\cos\alpha=\dfrac{2}{3}$（答）のとき．
(4)
$\cos\theta=\dfrac{2}{3}$のとき，
$\eqalign{v&=\sqrt{2gl(1-\cos\theta)}\\&=\sqrt{\dfrac{2}{3}gl}}$
です．
$\cos\theta=\dfrac{2}{3}$のときの水平方向の運動量の大きさ$P$は，上図より
$\eqalign{P&=mv\cos\theta\\&=m\sqrt{\dfrac{2}{3}gl}\cdot \dfrac{2}{3}}$
したがって，$P=\dfrac{2}{3}m\sqrt{\dfrac{2}{3}gl}$ (答)
(5)
運動量保存則を立てます．
★ 運動量保存則
$P=(M+m)V$
$\therefore V=\dfrac{P}{M+m}$ (答)
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