ボイル・シャルルの法則が使える条件と熱気球問題で使う式

ボイル・シャルルの法則

理想気体について，物質量$n$が変化しないとき，気体の圧力を$p$，気体の体積を$V$，絶対温度を$T$とすると，

$\dfrac{pV}{T}=$一定

が成り立つ．（ボイル・シャルルの法則）

特に，絶対温度が一定のとき

$pV=$一定（ボイルの法則）

圧力が一定のとき

$\dfrac{V}{T}=$一定（シャルルの法則）

が成り立つ．

PHYさん

ボイル・シャルルの法則は次の2つの条件を満たすときに使うことができます．

1.　理想気体であること

2.　物質量$n$が変化しないこと

理想気体の状態方程式を変形すれば，理解は難しくないでしょう．

理想気体の状態方程式

理想気体では，気体の圧力を$p$，体積を$V$，物質量を$n {\rm mol}$，絶対温度を$T$，気体定数を$R$とすると，次の関係式が成り立つ．

$pV=nRT$

★　理想気体の状態方程式より

$\dfrac{pV}{T}=nR$

物質量$n$が変化しないとき，

$\dfrac{pV}{T}=$一定

NEKO

そもそも，物質量が変化する問題なんてあるの？

PHYさん

あります．

たとえば，2つの容器に気体を入れてコックを開いて気体を混合をさせる問題や，熱気球のように，気体の出入りがある問題は気体分子の数（物質量）が変化します．

なので，ボイルシャルルが成り立たない問題も入試問題に出てきます．

熱気球の問題は状態方程式を別な形で表現した次の式を用いることがあります．

熱気球でよく使う式

理想気体の圧力を$P$，絶対温度を$T$，密度を$\rho$とする．このとき，理想気体の分子量が変化しなければ次の式が成り立つ．

$\dfrac{P}{\rho T}=$一定

NEKO

これも理想気体の状態方程式を変形したものなの？？

PHYさん

はい．次のように変形します．

理想気体の圧力を$P\, [\rm N/m^{2}]$，体積を$V\, [\rm m^{3}]$，物質量を$n\, [\rm mol]$，気体定数を$R\, [\rm J/(mol \cdot K)]$，絶対温度を$T\, [\rm K]$，理想気体の分子量を$M\, [\rm g/ mol]$とする．このとき，理想気体の状態方程式より

$PV=nRT$　$\dots (\ast)$

ここで，気体の質量を$w\,[\rm kg]$として

$1 {\rm mol}：M\times 10^{-3} [{\rm kg}]=n\, [{\rm mol}]：w\, [{\rm kg}]$

$\therefore n=\dfrac{w}{M\times 10^{-3}} [\rm mol]$　$\dots (2\ast)$

$(2\ast)$を$(\ast)$に代入して

$PV=\dfrac{w}{M\times 10^{-3}}\cdot RT$

気体の密度を$\rho [\rm kg/m^{3}]$とすると，$\rho =\dfrac{w}{V}$だから

$P=\dfrac{\rho}{M\times 10^{-3}}\cdot RT$

$\therefore \dfrac{P}{\rho T}=\dfrac{R}{M\times 10^{-3}}$

もし，分子量$M$が変化しなければ

$ \dfrac{P}{\rho T} =$一定

PHYさん