LC振動回路 やや難 片方だけに電荷が蓄えられてからスタートする場合

演習問題
問題

上図のように,電気容量$2C , C$のコンデンサーと,自己インダクタンス$L$の抵抗のないコイル,スイッチがある.はじめ,スイッチは開かれていて,電気容量$2C$のコンデンサーには,電気量$Q_{0}$の電荷が蓄えられており,電気容量$C$のコンデンサーには,電荷が蓄えらえれていない.ある時刻にスイッチを閉じたところ,電気振動が行った.このとき,コイルに流れる電流の大きさの最大値を$Q_{0} , C , L$を用いて表せ.

PHYさん
PHYさん

このとき,次のことはあらかじめ知っておきましょう.

  • 電流の大きさが最大になるときは電流を$i$として,$\dfrac{\varDelta i}{\varDelta t}=0$のときである.したがって,コイルの誘導起電力は0である.
  • 静電エネルギー+コイルに蓄えられるエネルギー=一定 が成り立つ.

NEKO
NEKO

なんで,電流の大きさがが最大になるときに誘導起電力が0になるの??

PHYさん
PHYさん

上図のように,電流が最大値になる場合は傾きが$0$になります.

したがって,$\dfrac{\varDelta i}{\varDelta t}=0$となります.

そして,コイルの誘導起電力の大きさ$V$は自己インダクタンスを$L$として,

$V=L\left|\dfrac{\varDelta i}{\varDelta t}\right|$

なので, $\dfrac{\varDelta i}{\varDelta t}=0$ より,$V=0$となるわけです.

では,電流が最大になるとき,すなわち,コイルに生じる誘導起電力が0のときのそれぞれのコンデンサーに蓄えられている電荷を求めていきましょう.

電荷は下図のように設定します.

また,下図の青色部分の電位を0,緑色部分の電位を$V_{\rm C}$として,電荷保存則とコンデンサーの式を立てていきましょう.

★ 電荷保存則

$Q_{1}+Q_{2}=-Q_{0}$ $\dots (\ast)$

★ コンデンサーの式

$Q_{1}=2CV_{\rm C}$ $\dots (2\ast)$

$Q_{2}=CV_{\rm C}$ $\dots (3\ast)$

$(2\ast)$,$(3\ast)$を$(\ast)$を代入すると

$2CV_{\rm C}+CV_{\rm C}=-Q_{0}$

$\therefore V_{\rm C}=-\dfrac{Q_{0}}{3C}$

したがって,$(\ast)$,$(2\ast)$より

$Q_{1}=-\dfrac{2}{3}Q_{0}$,$Q_{2}=-\dfrac{1}{3}Q_{0}$

PHYさん
PHYさん

この結果から,電流の最大値$I_{\rm max}$を,エネルギー保存則で求めましょう.

ちなみに,容量$C$に電荷$q$が蓄えられているときの静電エネルギー$U_{1}$は

$U_{1}=\dfrac{q^{2}}{2C}$

であり,自己インダクタンス$L$のコイルに電流$i$が流れているときのコイルに蓄えられているエネルギーは

$U_{2}=\dfrac{1}{2}Li^{2}$

です.

今回は

$\dfrac{q^{2}}{2C}+\dfrac{1}{2}Li^{2}=$一定

の式を立てます.

★ エネルギー保存則

$\dfrac{Q_{0}^{2}}{2\cdot 2C}+\dfrac{0^{2}}{2C}+\dfrac{1}{2}L\cdot 0^{2}=\dfrac{\left(-\dfrac{2Q_{0}}{3}\right)^{2}}{2\cdot 2C}+\dfrac{\left(-\dfrac{Q_{0}}{3}\right)^{2}}{2C}+\dfrac{1}{2}LI_{\rm max}^{2}$

$I_{\rm max}$について解く

$\eqalign{\dfrac{1}{2}LI_{\rm max}^{2}&=\dfrac{Q_{0}^{2}}{2C}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}\right)\\&=\dfrac{Q_{0}^{2}}{12C}}$

$\therefore I_{\rm max}=\dfrac{Q_{0}}{\sqrt{6LC}}$ (答)

NEKO
NEKO

前回の内容と同じになったね.

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