＜問題＞
<解答>
位相差についてはこちらを参照してください．
地点Pにおける2つの波の位相差を$\phi$，整数を$m$とすると，
強め合いの条件：$\phi=2\pi m$
弱め合いの条件：$\phi=(2m+1)\pi $
位相差$\phi$は次の3つの要素で決まる．
$\phi_{1}$：初期位相のずれ
同位相なら$\phi_{1}=0$，逆位相なら$\phi_{1}=\pi$
$\phi_{2}$：反射による位相のずれ
自由端反射なら$\phi_{2}=0$，固定端反射なら$\phi_{2}=\pi$
$\phi_{3}$：距離の差（屈折率が変わることで生じる光学的な距離の差を含む）による位相のずれ
距離の差が$\Delta l$のとき，次の比例式を立てて，位相差$\phi_{3}$を計算する．
$2\pi : \lambda =\phi_{3} : \Delta l$
$\therefore \phi_{3}=\dfrac{2\pi}{\lambda}\Delta l$
このとき，位相差$\phi$は
$\phi=\phi_{1}+\phi_{2}+\phi_{3}$
管を右側へ移動させてはじめて音が極大になったときの位相差は，左側経路と右側経路の距離の差を$\varDelta L$として，波の波長を$\lambda$とすると，自然数$m$を用いて，強め合いの条件は
$\dfrac{2\pi}{\lambda}\times \varDelta L=2\pi m$ $\cdots (\ast)$
と書けます．ただし，今回は波長ではなく，振動数が与えられているので，振動数を$f$，音の速さ$V$と波長$\lambda$の関係は，波の基本式より
$V=f\lambda$ $\therefore\,\, \dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{f}{V}$ $\cdots (2\ast)$
$(2\ast)$を$(\ast)$に代入して
$\dfrac{2\pi f}{V}\times \varDelta L=2\pi m$ $\cdots (3\ast)$
となります．
ここからさらに管の右側部分を$\varDelta x$移動させると音が極小になります．このとき，管を$\varDelta x$伸ばした時に，上側と下側それぞれが$\varDelta x$伸びるので，左右の管の距離の差は$2\varDelta x$だけ変化します．このとき，位相差は$2\pi m+\pi$になるので，弱め合いの条件より
$\dfrac{2\pi f}{V}\times (\varDelta L+2\varDelta x)=2\pi m+\pi$ $\cdots (4\ast)$
$(4\ast)$の左辺を展開して
$\dfrac{2\pi f}{V}\times \varDelta L+\dfrac{2\pi f}{V}\times 2\varDelta x=2\pi m+\pi$
$(3\ast)$を代入して
\begin{align*} &\cancel{2\pi m}+\dfrac{2\pi f}{V}\times 2\varDelta x=\cancel{2\pi m}+\pi\\ &\therefore \dfrac{2\pi f}{V}\times 2\varDelta x=\pi\\ &\therefore\,\, \varDelta x=\textcolor{red}{\dfrac{V}{4f} \,(答)} \end{align*}
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