球形のシャボン玉の内部に空気を送り込み，ふくらませていく．表面積が毎秒$4\pi {\rm cm^{2}}$ずつ増えていくように空気を送るとき，次の問いに答えよ．
(1) 半径が10$\rm cm$になった瞬間における，半径が増加する速度を求めよ．
(2) (1)のときの体積が増加する速度を求めよ．
<解答>
時刻$t[\rm s]$において，半径が$r[\rm cm]$のときの表面積を$S[\rm cm^{2}]$，体積を$V[\rm cm^{3}]$とすると
$S=4\pi r^{2}$
$V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$
速度を求めるので，$r$ではなく，$t$で微分しましょう．
このとき，合成関数の微分を用いて，$dfrac{dr}{dt}$が出てくることを忘れないようにしましょう．
それぞれ$t$で微分すると
$\dfrac{dS}{dt}=8\pi r\cdot \dfrac{dr}{dt}$ $\dots (\ast)$
$\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\cdot \dfrac{dr}{dt}$ $\dots (2\ast)$
(1) 問題文の条件より
$\dfrac{dS}{dt}=4\pi$．$(\ast)$より
$8\pi r\cdot \dfrac{dr}{dt}=4\pi$
$\therefore \dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{2r}$ $\dots (\clubsuit)$
したがって，$(\clubsuit)$より$r=10$における$\dfrac{dr}{dt}$は，
$\dfrac{1}{2\cdot 10}=\dfrac{1}{20}[\rm cm/s]$ （答）
(2) $(2\ast)$に，$r=10$，$\dfrac{1}{20}$を代入して
$\dfrac{dV}{dr}=4\pi \cdot 10^{2}\cdot \dfrac{1}{20}$
$\therefore \dfrac{dV}{dt}=20\pi[\rm cm^{3}/s]$ (答)
コメント