[数学Ⅲ]物理の問題3

問題

球形のシャボン玉の内部に空気を送り込み,ふくらませていく.表面積が毎秒$4\pi {\rm cm^{2}}$ずつ増えていくように空気を送るとき,次の問いに答えよ.

(1) 半径が10$\rm cm$になった瞬間における,半径が増加する速度を求めよ.

(2) (1)のときの体積が増加する速度を求めよ.

<解答>

時刻$t[\rm s]$において,半径が$r[\rm cm]$のときの表面積を$S[\rm cm^{2}]$,体積を$V[\rm cm^{3}]$とすると

$S=4\pi r^{2}$

$V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$

NEKO
NEKO

速度を求めるので,$r$ではなく,$t$で微分しましょう.

このとき,合成関数の微分を用いて,$dfrac{dr}{dt}$が出てくることを忘れないようにしましょう.

それぞれ$t$で微分すると

$\dfrac{dS}{dt}=8\pi r\cdot \dfrac{dr}{dt}$ $\dots (\ast)$

$\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\cdot \dfrac{dr}{dt}$ $\dots (2\ast)$

(1) 問題文の条件より

$\dfrac{dS}{dt}=4\pi$.$(\ast)$より

$8\pi r\cdot \dfrac{dr}{dt}=4\pi$

$\therefore \dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{2r}$ $\dots (\clubsuit)$

したがって,$(\clubsuit)$より$r=10$における$\dfrac{dr}{dt}$は,

$\dfrac{1}{2\cdot 10}=\dfrac{1}{20}[\rm cm/s]$ (答)

(2) $(2\ast)$に,$r=10$,$\dfrac{1}{20}$を代入して

$\dfrac{dV}{dr}=4\pi \cdot 10^{2}\cdot \dfrac{1}{20}$

$\therefore \dfrac{dV}{dt}=20\pi[\rm cm^{3}/s]$ (答)

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