[演習]定圧変化における計算4種類

PHYさん
PHYさん

内部エネルギーの計算は試験でもよく出るので,基本形を覚え,変形した式もすぐに導けるようにしておきましょう.

単原子分子理想気体の内部エネルギー

問題文に単原子分子理想気体とかいてあるときは,次のことを使うことができる.

定積モル比熱が$\dfrac{3}{2}R$である.すなわち

内部エネルギー$U$は

$U=\dfrac{3}{2}nRT=\dfrac{3}{2}pV$

内部エネルギーの変化$\Delta U$は

$\varDelta U=\dfrac{3}{2}nR\Delta T=\dfrac{3}{2}(p_{2}V_{2}-p_{1}V{1})$

※$n$:物質量,$T$:絶対温度,$p$:圧力,$V$:体積

理想気体の内部エネルギーの式

物質量$n$,絶対温度$T$の内部エネルギーUは,定積モル比熱$C_{V}$を用いて

$U=nC_{V}T$

と表す.このとき,$C_{V}$は比例定数であって,定積変化以外でも上の式は成り立つ.

内部エネルギー変化$\varDelta U$は

$\varDelta U=nC_{V}\varDelta T=\dfrac{C_{V}}{R}(p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1})$

※$n$:物質量,$T$:絶対温度,$p$:圧力,$V$:体積

NEKO
NEKO

また,定圧変化のとき,気体がした仕事$W$は

$W=p\varDelta V=nR\varDelta T$

となります.

そして,熱量は熱力学第一法則を用いて計算します.

熱力学第一法則

内部エネルギーの変化を$\Delta U$,気体が吸収する熱量を$Q$,気体がした仕事を$W$とすると

$Q=\Delta U+W$

問題

次の問いに答えよ.

(1) 単原子分子理想気体について考える.圧力$p_{0}$を一定に保ちながら,体積を$V_{0}$から$2V_{0}$変化させたときの,気体がした仕事$W^{\prime}$,内部エネルギー変化$\varDelta U$,気体が吸収した熱量$Q$をそれぞれ$p_{0}$,$V_{0}$を用いて表せ.

(2) 物質量が$n$モルの単原子分子理想気体について考える.圧力を一定に保ちながら,絶対温度を$T_{0}$から$2T_{0}$に変化させたときの,気体がした仕事$W^{\prime}$,内部エネルギー変化$\varDelta U$,気体が吸収した熱量$Q$をそれぞれ$n$,$R$,$T_{0}$を用いて表せ.ただし,$R$は気体定数である.

(3) 定積モル比熱が$C_{v}$の理想気体について考える.圧力$p_{0}$を一定に保ちながら,体積を$V_{0}$から$2V_{0}$変化させたときの,気体がした仕事$W^{\prime}$,内部エネルギー変化$\varDelta U$,気体が吸収した熱量$Q$をそれぞれ$p_{0}$,$V_{0}$,$R$,$C_{v}$を用いて表せ.ただし,$R$は気体定数である.

(4) 定積モル比熱が$C_{v}$の理想気体について考える.圧力を一定に保ちながら,絶対温度を$T_{0}$から$2T_{0}$に変化させたときの,気体がした仕事$W^{\prime}$,内部エネルギー変化$\varDelta U$,気体が吸収した熱量$Q$をそれぞれ$n$,$R$,$T_{0}$,$C_{v}$を用いて表せ.ただし,$R$は気体定数である.

<解答>

(1) 

$W^{\prime}=p_{0}(2V_{0}-V_{0})=p_{0}V_{0}$(答)

内部エネルギーの式より

$\varDelta U=\dfrac{3}{2}(p_{0}\cdot 2V_{0}-p_{0}V_{0})=\dfrac{3}{2}p_{0}V_{0}$(答)

熱力学第一法則より

$Q=\varDelta U+W^{\prime}=\dfrac{5}{2}p_{0}V_{0}$(答)

(2) 

$W^{\prime}=p\varDelta V=nR\varDelta T=nRT_{0}$(答)

内部エネルギーの式より

$\varDelta U=\dfrac{3}{2}nR(2T_{0}-T_{0})=\dfrac{3}{2}nRT_{0}$(答)

熱力学第一法則より

$Q=\varDelta U+W^{\prime}=\dfrac{5}{2}nRT_{0}$(答)

(3) 

$W^{\prime}=p_{0}(2V_{0}-V_{0})=p_{0}V_{0}$(答)

内部エネルギーの式より

$\varDelta U=\dfrac{C_{v}}{R}(p_{0}\cdot 2V_{0}-p_{0}V_{0})=\dfrac{C_{v}}{R}p_{0}V_{0}$(答)

熱力学第一法則より

$Q=\varDelta U+W^{\prime}=\left(1+\dfrac{C_{v}}{R}\right)p_{0}V_{0}$(答)

(4) 

$W^{\prime}=p\varDelta V=nR\varDelta T=nRT_{0}$(答)

内部エネルギーの式より

$\varDelta U=nC_{v}(2T_{0}-T_{0})=nC_{v}T_{0}$(答)

熱力学第一法則より

$Q=\varDelta U+W^{\prime}=n(C_{v}+R)T_{0}$(答)

コメント