内部エネルギーの計算は試験でもよく出るので，基本形を覚え，変形した式もすぐに導けるようにしておきましょう．
問題文に単原子分子理想気体とかいてあるときは，次のことを使うことができる．
定積モル比熱が$\dfrac{3}{2}R$である．すなわち
内部エネルギー$U$は
$U=\dfrac{3}{2}nRT=\dfrac{3}{2}pV$
内部エネルギーの変化$\Delta U$は
$\varDelta U=\dfrac{3}{2}nR\Delta T=\dfrac{3}{2}(p_{2}V_{2}-p_{1}V{1})$
※$n$：物質量，$T$：絶対温度，$p$：圧力，$V$：体積
物質量$n$，絶対温度$T$の内部エネルギーUは，定積モル比熱$C_{V}$を用いて
$U=nC_{V}T$
と表す．このとき，$C_{V}$は比例定数であって，定積変化以外でも上の式は成り立つ．
内部エネルギー変化$\varDelta U$は
$\varDelta U=nC_{V}\varDelta T=\dfrac{C_{V}}{R}(p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1})$
※$n$：物質量，$T$：絶対温度，$p$：圧力，$V$：体積
また，定圧変化のとき，気体がした仕事$W$は
$W=p\varDelta V=nR\varDelta T$
となります．
そして，熱量は熱力学第一法則を用いて計算します．
内部エネルギーの変化を$\Delta U$，気体が吸収する熱量を$Q$，気体がした仕事を$W$とすると
$Q=\Delta U+W$
次の問いに答えよ．
(1) 単原子分子理想気体について考える．圧力$p_{0}$を一定に保ちながら，体積を$V_{0}$から$2V_{0}$変化させたときの，気体がした仕事$W^{\prime}$，内部エネルギー変化$\varDelta U$，気体が吸収した熱量$Q$をそれぞれ$p_{0}$，$V_{0}$を用いて表せ．
(2) 物質量が$n$モルの単原子分子理想気体について考える．圧力を一定に保ちながら，絶対温度を$T_{0}$から$2T_{0}$に変化させたときの，気体がした仕事$W^{\prime}$，内部エネルギー変化$\varDelta U$，気体が吸収した熱量$Q$をそれぞれ$n$，$R$，$T_{0}$を用いて表せ．ただし，$R$は気体定数である．
(3) 定積モル比熱が$C_{v}$の理想気体について考える．圧力$p_{0}$を一定に保ちながら，体積を$V_{0}$から$2V_{0}$変化させたときの，気体がした仕事$W^{\prime}$，内部エネルギー変化$\varDelta U$，気体が吸収した熱量$Q$をそれぞれ$p_{0}$，$V_{0}$，$R$，$C_{v}$を用いて表せ．ただし，$R$は気体定数である．
(4) 定積モル比熱が$C_{v}$の理想気体について考える．圧力を一定に保ちながら，絶対温度を$T_{0}$から$2T_{0}$に変化させたときの，気体がした仕事$W^{\prime}$，内部エネルギー変化$\varDelta U$，気体が吸収した熱量$Q$をそれぞれ$n$，$R$，$T_{0}$，$C_{v}$を用いて表せ．ただし，$R$は気体定数である．
<解答>
(1)
$W^{\prime}=p_{0}(2V_{0}-V_{0})=p_{0}V_{0}$(答)
内部エネルギーの式より
$\varDelta U=\dfrac{3}{2}(p_{0}\cdot 2V_{0}-p_{0}V_{0})=\dfrac{3}{2}p_{0}V_{0}$(答)
熱力学第一法則より
$Q=\varDelta U+W^{\prime}=\dfrac{5}{2}p_{0}V_{0}$(答)
(2)
$W^{\prime}=p\varDelta V=nR\varDelta T=nRT_{0}$(答)
内部エネルギーの式より
$\varDelta U=\dfrac{3}{2}nR(2T_{0}-T_{0})=\dfrac{3}{2}nRT_{0}$(答)
熱力学第一法則より
$Q=\varDelta U+W^{\prime}=\dfrac{5}{2}nRT_{0}$(答)
(3)
$W^{\prime}=p_{0}(2V_{0}-V_{0})=p_{0}V_{0}$(答)
内部エネルギーの式より
$\varDelta U=\dfrac{C_{v}}{R}(p_{0}\cdot 2V_{0}-p_{0}V_{0})=\dfrac{C_{v}}{R}p_{0}V_{0}$(答)
熱力学第一法則より
$Q=\varDelta U+W^{\prime}=\left(1+\dfrac{C_{v}}{R}\right)p_{0}V_{0}$(答)
(4)
$W^{\prime}=p\varDelta V=nR\varDelta T=nRT_{0}$(答)
内部エネルギーの式より
$\varDelta U=nC_{v}(2T_{0}-T_{0})=nC_{v}T_{0}$(答)
熱力学第一法則より
$Q=\varDelta U+W^{\prime}=n(C_{v}+R)T_{0}$(答)
コメント
[…] […]