今回は，単振動の速度と加速度の計算練習をします．いままで，速度$v$や加速度$a$は座標$x$，時刻$t$を用いて次のように表してきたかと思います．
$v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$，$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$
上の式は速度や加速度が一定の場合はよいですが，時間とともに変化する場合は使えません．そこで，瞬間の速度，瞬間の加速度は次のようになります．
$v=\displaystyle{\lim_{\Delta t \rightarrow 0}}\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{dx}{dt}$
$a=\displaystyle{\lim_{\Delta t \rightarrow 0}}\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{dv}{dt}$
単振動では，座標，速度，加速度が時間とともに変化します．そのため，速度は座標を時間で微分，加速度は速度を時間で微分します．
$\sin$や$\cos$の微分は次の通りです．
$(\sin x)^{\prime}=\cos x$，$(\cos x)^{\prime}=-\sin x$
また，$x$の部分が一次式$ax+b(a\neq 0)$になっている場合は，次のようになります．
$\{\sin(ax+b)\}^{\prime}=(ax+b)^{\prime}\cos(ax+b)=a\cos(ax+b)$
$\{\cos(ax+b)\}^{\prime}=-(ax+b)^{\prime}\sin(ax+b)=-a\sin(ax+b)$
上のように，$\sin$や$\cos$の中も微分しなければいけません．数学Ⅲで習う合成関数の微分です．
では，この三角関数の微分の練習しましょう．
前回の内容です．
次の関数を$x$について微分せよ．ただし，$a$や$\omega$は0でない定数である．
(1) $y=\sin(3x+4)$
(2) $y=-\cos(5x-4)$
(3) $y=-\sin(ax-5)$
(4) $y=\cos(\omega x -a)$
<解答>
(1) $y^{\prime}=(3x+4)^{\prime}\cos(3x+4)$$=$$3\cos(3x+4)$
(2) $y^{\prime}=(5x-4)^{\prime}\sin(5x-4)$$=$$5\sin(5x-4)$
(3) $y^{\prime}=-(ax-5)^{\prime}\cos(ax-5)$$=$$-a\cos(ax-5)$
(4) $y^{\prime}=-(\omega x-a)^{\prime}\sin(\omega x-a)$$=$$-\omega \sin(\omega x-a)$
これらができたら，座標の式から，速度，加速度を求めることができます．
位置 $\xrightarrow{\text{tで微分}}$ 速度$\xrightarrow{\text{tで微分}}$ 加速度
座標$x$と時刻$t$の関係が以下のとき，速度$v$と加速度$a$を求めよ．また，加速度$a$と座標$x$の関係式を導け．ただし，$A$，$\omega$，$T$，$f$，$k$，$m$，$g$は時間によらない定数である．
(1) $x=A\sin \omega t$
(2) $x=A\cos \dfrac{2\pi}{T}t$
(3) $x=-A\sin 2\pi ft$
(4) $x=\dfrac{mg}{k}-\dfrac{mg}{k}\cos \sqrt{\dfrac{k}{m}} t$
<解答>
(1) $v=(\omega t)^{\prime}A\cos \omega t$$=$$A\omega\cos \omega t$
$a=-A\omega(\omega t)^{\prime}\sin \omega t$$=$$-A\omega^{2}\sin \omega t$
$\therefore$ $a=-\omega^{2}x$
(2) $v=-A\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)^{\prime}\sin\dfrac{2\pi}{T}t=$$-A\dfrac{2\pi}{T}\sin\dfrac{2\pi}{T}t$
$a=-A\dfrac{2\pi}{T}\cdot \left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)^{\prime}\cos\dfrac{2\pi}{T}t=$$-A\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2\cos\dfrac{2\pi}{T}t$
$\therefore$ $a=-\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^{2}x$
(3) $v=-A(2\pi ft)^{\prime}\cos 2\pi ft=$$-2\pi fA\cos 2\pi ft$
$a=2\pi f(2\pi ft)^{\prime}A\sin 2\pi ft=$$(2\pi f)^{2}A\sin 2\pi ft$
$\therefore$ $a=-(2\pi f)^{2}x$
(4) $v=\dfrac{mg}{k}\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t\right)^{\prime}\sin \sqrt{\dfrac{k}{m}}t=$$\dfrac{mg}{k}\sqrt{\dfrac{k}{m}}\sin \sqrt{\dfrac{k}{m}}t$
$a=\dfrac{mg}{k}\sqrt{\dfrac{k}{m}}\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t\right)^{\prime}\cos \sqrt{\dfrac{k}{m}}t=$$\dfrac{mg}{k}\cdot \dfrac{k}{m}\cos \sqrt{\dfrac{k}{m}}t=$$g\cos\sqrt{\dfrac{k}{m}}t$
$\therefore$ $a=-\dfrac{k}{m}\left(x-\dfrac{mg}{k}\right)$
今回は単振動という感じではありませんでしたが，今後単振動の問題を解くうえで重要な計算となります．次回は座標と時間の関係式についてです．（こちらも数学です．．）
次回の内容です．
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