[標準]単振動の演習問題① 速度と加速度

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PHYさん
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今回は,単振動の速度と加速度の計算練習をします.いままで,速度$v$や加速度$a$は座標$x$,時刻$t$を用いて次のように表してきたかと思います.

$v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$,$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$

上の式は速度や加速度が一定の場合はよいですが,時間とともに変化する場合は使えません.そこで,瞬間の速度,瞬間の加速度は次のようになります.

$v=\displaystyle{\lim_{\Delta t \rightarrow 0}}\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{dx}{dt}$

$a=\displaystyle{\lim_{\Delta t \rightarrow 0}}\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{dv}{dt}$

PHYさん
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単振動では,座標,速度,加速度が時間とともに変化します.そのため,速度は座標を時間で微分加速度は速度を時間で微分します.

$\sin$や$\cos$の微分は次の通りです.

$(\sin x)^{\prime}=\cos x$,$(\cos x)^{\prime}=-\sin x$

PHYさん
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また,$x$の部分が一次式$ax+b(a\neq 0)$になっている場合は,次のようになります.

$\{\sin(ax+b)\}^{\prime}=(ax+b)^{\prime}\cos(ax+b)=a\cos(ax+b)$

$\{\cos(ax+b)\}^{\prime}=-(ax+b)^{\prime}\sin(ax+b)=-a\sin(ax+b)$

PHYさん
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問題1.1 三角関数の微分

次の関数を$x$について微分せよ.ただし,$a$や$\omega$は0でない定数である.

(1) $y=\sin(3x+4)$

(2) $y=-\cos(5x-4)$

(3) $y=-\sin(ax-5)$

(4) $y=\cos(\omega x -a)$

<解答>

(1) $y^{\prime}=(3x+4)^{\prime}\cos(3x+4)$$=$$3\cos(3x+4)$

(2) $y^{\prime}=(5x-4)^{\prime}\sin(5x-4)$$=$$5\sin(5x-4)$

(3) $y^{\prime}=-(ax-5)^{\prime}\cos(ax-5)$$=$$-a\cos(ax-5)$

(4) $y^{\prime}=-(\omega x-a)^{\prime}\sin(\omega x-a)$$=$$-\omega \sin(\omega x-a)$

これらができたら,座標の式から,速度,加速度を求めることができます.

位置 $\xrightarrow{\text{tで微分}}$ 速度$\xrightarrow{\text{tで微分}}$ 加速度

問題1.2 速度と加速度

座標$x$と時刻$t$の関係が以下のとき,速度$v$と加速度$a$を求めよ.また,加速度$a$と座標$x$の関係式を導け.ただし,$A$,$\omega$,$T$,$f$,$k$,$m$,$g$は時間によらない定数である.

(1) $x=A\sin \omega t$

(2) $x=A\cos \dfrac{2\pi}{T}t$

(3) $x=-A\sin 2\pi ft$

(4) $x=\dfrac{mg}{k}-\dfrac{mg}{k}\cos \sqrt{\dfrac{k}{m}} t$

<解答>

(1) $v=(\omega t)^{\prime}A\cos \omega t$$=$$A\omega\cos \omega t$

 $a=-A\omega(\omega t)^{\prime}\sin \omega t$$=$$-A\omega^{2}\sin \omega t$

$\therefore$ $a=-\omega^{2}x$

(2) $v=-A(\dfrac{2\pi}{T}t)^{\prime}\sin\dfrac{2\pi}{T}t=$$-A\dfrac{2\pi}{T}\sin\dfrac{2\pi}{T}t$

 $a=-A\dfrac{2\pi}{T}\cdot (\dfrac{2\pi}{T}t)^{\prime}\cos\dfrac{2\pi}{T}t=$$-A(\dfrac{2\pi}{T})^2\cos\dfrac{2\pi}{T}t$

$\therefore$ $a=-(\dfrac{2\pi}{T})^{2}x$

(3) $v=-A(2\pi ft)^{\prime}\cos 2\pi ft=$$-2\pi fA\cos 2\pi ft$

 $a=2\pi f(2\pi ft)^{\prime}A\sin 2\pi ft=$$(2\pi f)^{2}A\sin 2\pi ft$

  $\therefore$ $a=-(2\pi f)^{2}x$

(4) $v=\dfrac{mg}{k}(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t)^{\prime}\sin \sqrt{\dfrac{k}{m}}t=$$\dfrac{mg}{k}\sqrt{\dfrac{k}{m}}\sin \sqrt{\dfrac{k}{m}}t$

 $a=\dfrac{mg}{k}\sqrt{\dfrac{k}{m}}(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t)^{\prime}\cos \sqrt{\dfrac{k}{m}}t=$$\dfrac{mg}{k}\cdot \dfrac{k}{m}\cos \sqrt{\dfrac{k}{m}}t=$$g\cos\sqrt{\dfrac{k}{m}}t$

 $\therefore$ $a=-\dfrac{k}{m}(x-\dfrac{mg}{k})$

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コメント

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  2. […] 力学的エネルギー保存則は運動量保存則とともに,保存則を立てることができるのかを確認しないといけません.式が成り立たないのに,勝手に立式したのでは×になりますからね.この記事でも述べたように,運動量保存則が成り立つ条件は物体系にはたらく力の… [基本]単振動の演習問題⑨ 運動方程式を立てる5 [標準]単振動の演習問題① 速度と加速度 […]

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