浮力と等加速度運動

分野別
問題

図のように,質量$m$,体積$V$の物体を密度$\rho$の液体中に静止させてある.

この物体を静かにはなしたところ,物体は鉛直下向きに運動を始めた.重力加速度の大きさを$g$として次の問いに答えよ.ただし,液体による抵抗は無視する.

(1) 物体が運動しているときの加速度の大きさ$a$を,$m$,$\rho$,$V$,$g$を用いて表せ.

(2) 運動を始めてから$H$だけ鉛直下向きに移動するまでの間にかかる時間$t_{1}$を求めよ.

(3) 運動を始めてから$H$だけ鉛直下向きに移動したときの速度$v_{1}$を求めよ.

(4) 速さに比例する抵抗がはたらく場合,十分時間が経つと,物体の速度は一定となる.この一定値$v_{2}$を求めよ.ただし液体による抵抗の正の比例定数を$k$とする.

<解答>

(1) 

NEKO
NEKO

加速度を求めるので,運動方程式を立てましょう.

はたらく力は鉛直下向きに重力$mg$と,鉛直上向きに浮力$\rho Vg$です.

浮力については,アルキメデスの原理に従いましょう.

アルキメデスの原理

物体にはたらく浮力の大きさは,物体がおしのけた液体(または気体)の重さと等しい.

おしのけた液体(または気体)の密度を$\rho$,押しのけた分の物体の体積を$V$,重力加速度の大きさを$g$とすると,浮力の大きさ$F$は

$F=\rho Vg$

※ $\rho$は物体の密度ではなく,おしのけた液体(または気体)の密度である

★ 運動方程式

鉛直下向きに加速度$a$をとって,運動方程式を立てると

$ma=mg-\rho Vg$

$a=\left(1-\dfrac{\rho V}{m}\right)g$(答)

(2)

NEKO
NEKO

(1)より,等加速度運動をするので,等加速度運動の式を立てましょう.

等加速度運動の式

物体は加速度$a$で$x$軸上を運動している.$t=0$において,原点にある物体が,時刻$t$に座標$x$に移動した.初速度を$v_{0}$,時刻$t$における速度を$v$とするとき,次の関係式が成り立つ.

$v=v_{0}+at$ $\dots (\ast)$

$x=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^2$ $\dots (2\ast)$

$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$ $\dots (3\ast)$

★ 等加速度運動の式(2\ast)

$H=\dfrac{1}{2}at_{1}^{2}$

$t_{1}=\sqrt{\dfrac{2H}{a}}$

$a=\left(1-\dfrac{\rho V}{m}\right)g$より

$t_{1}=\sqrt{\dfrac{2H}{g-\dfrac{\rho Vg}{m}}}=\sqrt{\dfrac{2mH}{(m-\rho V)g}}$ (答)

(3) 

NEKO
NEKO

同じく等加速度運動の式を立てましょう.

$(3\ast)$の式を立てます.

★ 等加速度運動の式$(3\ast)$

$v_{1}^{2}-0^{2}=2aH$

$v_{1}=\sqrt{2aH}$

$a=\left(1-\dfrac{\rho V}{m}\right)g$より

$v_{1}=\sqrt{2gH\left(1-\dfrac{\rho V}{m}\right)}$ (答)(向きは鉛直下向き)

(4)

NEKO
NEKO

速度が一定になると書いてあるので,加速度が$0$すなわち,力の和が0となります.

鉛直下向きに重力$mg$,鉛直上向きに浮力$\rho Vg$と抵抗力$kv_{2}$がはたらきます.

★ 力のつり合い

$\rho Vg+kv_{2}=mg$

$\therefore v_{2}=\dfrac{m-\rho V}{k}g$ (答)

コメント