図のように，質量$m$，体積$V$の物体を密度$\rho$の液体中に静止させてある．
この物体を静かにはなしたところ，物体は鉛直下向きに運動を始めた．重力加速度の大きさを$g$として次の問いに答えよ．ただし，液体による抵抗は無視する．
(1) 物体が運動しているときの加速度の大きさ$a$を，$m$，$\rho$，$V$，$g$を用いて表せ．
(2) 運動を始めてから$H$だけ鉛直下向きに移動するまでの間にかかる時間$t_{1}$を求めよ．
(3) 運動を始めてから$H$だけ鉛直下向きに移動したときの速度$v_{1}$を求めよ．
(4) 速さに比例する抵抗がはたらく場合，十分時間が経つと，物体の速度は一定となる．この一定値$v_{2}$を求めよ．ただし液体による抵抗の正の比例定数を$k$とする．
<解答>
(1)
加速度を求めるので，運動方程式を立てましょう．
はたらく力は鉛直下向きに重力$mg$と，鉛直上向きに浮力$\rho Vg$です．
浮力については，アルキメデスの原理に従いましょう．
物体にはたらく浮力の大きさは，物体がおしのけた液体（または気体）の重さと等しい．
おしのけた液体（または気体）の密度を$\rho$，押しのけた分の物体の体積を$V$，重力加速度の大きさを$g$とすると，浮力の大きさ$F$は
$F=\rho Vg$
※ $\rho$は物体の密度ではなく，おしのけた液体（または気体）の密度である．
★ 運動方程式
鉛直下向きに加速度$a$をとって，運動方程式を立てると
$ma=mg-\rho Vg$
$a=\left(1-\dfrac{\rho V}{m}\right)g$(答)
(2)
(1)より，等加速度運動をするので，等加速度運動の式を立てましょう．
物体は加速度$a$で$x$軸上を運動している．$t=0$において，原点にある物体が，時刻$t$に座標$x$に移動した．初速度を$v_{0}$，時刻$t$における速度を$v$とするとき，次の関係式が成り立つ．
$v=v_{0}+at$ $\dots (\ast)$
$x=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^2$ $\dots (2\ast)$
$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$ $\dots (3\ast)$
★ 等加速度運動の式(2\ast)
$H=\dfrac{1}{2}at_{1}^{2}$
$t_{1}=\sqrt{\dfrac{2H}{a}}$
$a=\left(1-\dfrac{\rho V}{m}\right)g$より
$t_{1}=\sqrt{\dfrac{2H}{g-\dfrac{\rho Vg}{m}}}=\sqrt{\dfrac{2mH}{(m-\rho V)g}}$ (答)
(3)
同じく等加速度運動の式を立てましょう．
$(3\ast)$の式を立てます．
★ 等加速度運動の式$(3\ast)$
$v_{1}^{2}-0^{2}=2aH$
$v_{1}=\sqrt{2aH}$
$a=\left(1-\dfrac{\rho V}{m}\right)g$より
$v_{1}=\sqrt{2gH\left(1-\dfrac{\rho V}{m}\right)}$ （答）（向きは鉛直下向き）
(4)
速度が一定になると書いてあるので，加速度が$0$すなわち，力の和が0となります．
鉛直下向きに重力$mg$，鉛直上向きに浮力$\rho Vg$と抵抗力$kv_{2}$がはたらきます．
★ 力のつり合い
$\rho Vg+kv_{2}=mg$
$\therefore v_{2}=\dfrac{m-\rho V}{k}g$ (答)
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