投げ上げ運動の際の対称性の理由を$v-t$グラフで考える.

分野別
NEKO
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投げ上げ運動の際には,次のことをよく使うね.

投げ上げ運動と対称性

時刻$t=0$において,速さ$v_{0}$で投げ上げたときの運動を考える.

投げ上げた地点を原点として上向きに$y$座標をとる.

最高点に達する時刻を$T$とする.

時刻$t$における速度$v(t)$と座標$y(t)$について,次の関係が成り立つ.

運動$0\leqq \tau \leqq T$について

$|v(T-\tau)|=|v(T+\tau)|$

$y(T-\tau)=y(T+\tau)$

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たとえば,最高点に達する3秒前と3秒後の速さと高さは同じだってことだね.

なぜ,このようなことになるのかを$v-t$グラフを利用して確認しましょう.

★ 等加速度運動の式

鉛直上向きに座標をとると,加速度は重力加速度の大きさを$g$とすれば,$-g$.

さらに,初速度を$v_{0}$とする.

すると,時刻$t$における速度$v$は

$v=v_{0}-gt$

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$v$$=v_{0}-g$$t$

について,縦軸を$v$,横軸を$t$とした$v-t$グラフをかきましょう.

すると,$v_{0}$は縦軸の切片の値になり,$-g$は直線の傾きになるね.

この直線と$t$軸との共有点の$t$座標を$T$として,下図のように$\triangle\rm O^{\prime}AB$と$\triangle\rm O^{\prime}CD$について考えます.

このとき,

${\rm O^{\prime}B}={\rm O^{\prime}D}=\tau$

です.

$t=T$は速度が$0$の時刻なので,最高点に達する時刻となります.

時刻$t=T$より時間$\tau$だけ前の速さは$\rm AB$の長さに対応し,時刻$t=T$より時間$\tau$だけ後の速さは$\rm CD$の長さに対応しています.

${\rm AB}={\rm CD}$

を示すために,$\triangle\rm O^{\prime}AB$と$\triangle\rm O^{\prime}CD$が合同であることを示しましょう.

${\rm O^{\prime}B}={\rm O^{\prime}D}$ (仮定) $\dots (\ast)$

${\angle \rm O^{\prime}BA}={\angle \rm O^{\prime}DC}=90°$ (仮定) $\dots (2\ast)$

${\rm BO^{\prime}A}={\rm DO^{\prime}C}$ (対頂角) $\dots (3\ast)$

$(\ast)$~$(3\ast)$より,1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので,

$\triangle\rm O^{\prime}AB \equiv \triangle\rm O^{\prime}CD$

NEKO
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したがって,対応する辺を考えれば,

${\rm AB}={\rm CD}$

となるんだね.

つまり,最高点に達する時刻$T$より,$\tau$前の速さと$\tau$後の速さが同じであることが示されたね.

さらに,$\triangle\rm O^{\prime}AB$と$\triangle\rm O^{\prime}CD$の面積は移動距離を表すので,最高点に達する時刻$T$より$\tau$前の高さと$\tau$後の高さが同じであることがわかるね.

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