床との衝突2 n回衝突

分野別
問題

図のように,質量$m$の物体を水平でなめらかな床から高さ$h$の場所までもっていき,静かにはなした.物体と床とのはねかえり係数を$e(0<e<1)$とし,重力加速度の大きさを$g$として次の問いに答えよ.

(1) 物体が1回目の衝突をする直前の速さ$v_{1}$を求めよ.

(2) 物体を静かにはなしてから1回目の衝突をするまでの時間$t_{0}$を求めよ.

(3) 物体が1回目の衝突をした後,最高点に達した.このときの床からの高さ$h_{1}$を求めよ.

(4) $n$回目に床に衝突する直前の速さを$v_{n}$,衝突後の速さを$v_{n}^{\prime}$とする.このとき,$v_{n}^{\prime}$を$v_{n}$を用いて表せ.

(5) $n$回目の衝突直後の速さ$v_{n}^{\prime}$と$n+1$回目の衝突直前の速さ$v_{n+1}$は等しい.(4)より,$v_{n}$と$v_{n+1}$の関係式を導き,(1)の$v_{1}$の答えを用いて,$v_{n}$を$g$,$h$,$e$,$n$を用いて表せ.

(6) (5)と等加速度運動の式を用いて,$n$回目の衝突直後から最高点に達するまでの時間$t_{n}$を$g$,$h$,$e$,$n$を用いて表せ.

(7) $n$回目の衝突後に床から最高点に達したときの高さ$h_{n}$を$h$,$e$,$n$を用いて表せ.

<解答>

(1)

★ 力学的エネルギー保存則

$\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}+0=0+mgh$

$\therefore v_{1}=\sqrt{2gh}$ (答)

(2)

★ 等加速度運動の式

$h=\dfrac{1}{2}gt_{0}^{2}$

$\therefore t_{0}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ (答)

(3)

★ 力学的エネルギー保存則

$\eqalign{mgh_{1}&=\dfrac{1}{2}m(e\sqrt{2gh})^{2}\\&=e^{2}mgh\cr h_{1}&=e^{2}h}$ (答)

(4)

NEKO
NEKO

静止している壁や床との衝突の際には,衝突によって速さが$e$倍になります.

はねかえり係数の式

衝突前の物体の速度を$v_{1}$,$v_{2}$,衝突後の速度を$v_{1}^{\prime}$,$v_{2}^{\prime}$とするとき,はねかえり係数(反発係数)の式を次のように定義する.

$e=-\dfrac{v_{1}^{\prime}-v_{2}^{\prime}}{v_{1}-v_{2}}$

$e=1$のときを弾性衝突といい,力学的エネルギーが保存する.

また,$e=0$のときを完全非弾性衝突という.

★ はねかえり係数の式

$v_{n}^{\prime}=ev_{n}$ (答)

(5)

投げ上げ運動と対称性

時刻$t=0$において,速さ$v_{0}$で投げ上げたときの運動を考える.

投げ上げた地点を原点として上向きに$y$座標をとる.

最高点に達する時刻を$T$とする.

時刻$t$における速度$v(t)$と座標$y(t)$について,次の関係が成り立つ.

運動$0\leqq \tau \leqq T$について

$|v(T-\tau)|=|v(T+\tau)|$

$y(T-\tau)=y(T+\tau)$

したがって

$v_{n+1}=ev_{n}$

NEKO
NEKO

これは,等比数列の漸化式だね.

初項が$v_{1}=\sqrt{2gh}$,公比が$e$(自然対数じゃなくて,反発係数だよ.)の等比数列です.

等比数列の一般項

数列$\{a_{n}\}(n=1 , 2 , \dots)$について,$r$を実数として

$a_{n+1}=ra_{n}$

が成り立つとき,数列$\{a_{n}\}$は初項が$a_{1}$,公比が$r$の等比数列である.

等比数列の一般項は,

$a_{n}=a_{1}r^{n-1}$

$v_{n}=v_{1}e^{n-1}=e^{n-1}\sqrt{2gh}$ (答)

(6) 

NEKO
NEKO

$n$回目の衝突直後の速度$v_{n}^{\prime}=e^{n}\sqrt{2gh}$の向きを正の方向とし,等加速度運動の式を立てます.

衝突直後から最高点(速度が$0$になる)に達するまでの時間を$t_{n}$として,等加速度運動の式より

★ 等加速度運動の式

$0=v_{n}^{\prime}-gt_{n}$

$t_{n}=\dfrac{e^{n}\sqrt{2gh}}{g}=e^{n}\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ (答)

(7)

NEKO
NEKO

力学的エネルギー保存則を用いて,$n$回目の衝突後の最高点の高さ$h_{n}$を求めましょう.

(等加速度運動の式でも求めることができます.)

★ 力学的エネルギー保存則

$mgh_{n}=\dfrac{1}{2}m(v_{n}^{\prime})^{2}$

$\therefore h_{n}=\dfrac{(v_{n}^{\prime})^{2}}{2g}$

(5)より,$v_{n}^{\prime}=e^{n}\sqrt{2gh}$であるから

$\eqalign{h_{n}=\dfrac{\{e^{n}\sqrt{2gh}\}^{2}}{2g}\\&=e^{2n}h}$ (答)

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