上図のように，水平でなめらかな床の上に質量$M$の台がおかれている．台には，軽くて変形しない棒が固定されており，棒の上端$\rm O$には長さ$l$の軽くて伸びない糸がとりつけられている．この糸の他端には，質量$m$の物体がとりつけられている．
糸を張り，$\rm O$と同じ高さまでもってきて台と物体を静止させた状態から，物体を静かにはなすと物体と台は運動をはじめた．ただし，台は床から離れず，物体は同一円直面内を運動する．重力加速度の大きさを$g$として次の問いに答えよ．また，速度の向きは上図の右向きとする．
(1) 物体がはじめて最下点に達したときの物体の速度$v$と台の速度$V$をそれぞれ，$m$，$M$，$g$，$l$を用いて表せ．
(2) 物体が最下点に達したときの張力の大きさ$T$を$m$，$M$，$g$，$l$から必要なものを用いて表せ．
＜解答＞
(1)
物体と台を対象とすると，運動量と力学的エネルギーが保存します．
水平方向の力の和が0なので運動量が保存し，非保存力がする仕事が0なので力学的が保存します．
運動量保存則と力学的エネルギー保存則が保存する条件は次の記事を参考にしてください．
★ 運動量保存則
$0=mv+MV$ $\dots (\ast)$
★ 力学的エネルギー保存則
$mgl=\dfrac{1}{2}mv^{2}+\dfrac{1}{2}MV^{2}$ $\dots (2\ast)$
$(\ast)$と$(2\ast)$より，$v$と$V$を求めます．
$(\ast)$より
$v=-\dfrac{M}{m}V$ $\dots (3\ast)$
$(3\ast)$を$(2\ast)$に代入すると
$\eqalign{\dfrac{1}{2}m\left(-\dfrac{M}{m}V\right)^{2}+\dfrac{1}{2}MV^{2}&=mgl\cr \dfrac{1}{2}MV^{2}\left(\dfrac{M}{m}+1\right)&=mgl\cr \dfrac{1}{2}MV^{2}\cdot \dfrac{M+m}{m}&=mgl \cr V^{2}&=\dfrac{2m^{2}gl}{M(M+m)}}$
$\therefore V=-m\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}$ (答) $\dots (4\ast)$
さらに，$(4\ast)$を$(3\ast)$に代入すると
$v=M\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}$ (答)
(2)
張力の大きさは$mg$ではないですよ．
理由は，つり合っていないからです．
床で止まっている人から見ると複雑な運動なので，台の上から物体の運動を観測しましょう．
台からみると，物体は円運動しています．
なので，台からみた円運動の運動方程式を立てましょう．
半径$r$，円運動の接線方向の速さを$v$，角速度を$\omega$とすると，向心加速度の大きさ$a$は
$a=\dfrac{v^{2}}{r}=r\omega^{2}$
向心加速度の向きは円運動の中心
台からみた物体の速度は$v-V$なので
$\eqalign{v-V&=M\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}-\left(-m\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}\right)\\&=(M+m)\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}\\&=\sqrt{\dfrac{2(M+m)gl}{M}}}$
したがって，台からみた物体の向心方向の運動方程式より
$m\dfrac{(v-V)^{2}}{l}=T-mg$
$\eqalign{T&=mg+m\dfrac{(v-V)^{2}}{l}\\&=mg+m\dfrac{1}{\cancel{l}}\dfrac{2(M+m)g\cancel{l}}{M}\\&=\left(\dfrac{2(M+m)}{M}+1\right)mg\\&=\dfrac{3M+2m}{M}mg}$
したがって，$T=\dfrac{3M+2m}{M}mg$（答）
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