[発展演習]円運動と相対運動1

分野別
問題

上図のように,水平でなめらかな床の上に質量$M$の台がおかれている.台には,軽くて変形しない棒が固定されており,棒の上端$\rm O$には長さ$l$の軽くて伸びない糸がとりつけられている.この糸の他端には,質量$m$の物体がとりつけられている.

糸を張り,$\rm O$と同じ高さまでもってきて台と物体を静止させた状態から,物体を静かにはなすと物体と台は運動をはじめた.ただし,台は床から離れず,物体は同一円直面内を運動する.重力加速度の大きさを$g$として次の問いに答えよ.また,速度の向きは上図の右向きとする.

(1) 物体がはじめて最下点に達したときの物体の速度$v$と台の速度$V$をそれぞれ,$m$,$M$,$g$,$l$を用いて表せ.

(2) 物体が最下点に達したときの張力の大きさ$T$を$m$,$M$,$g$,$l$から必要なものを用いて表せ.

<解答>

(1)

NEKO
NEKO

物体と台を対象とすると,運動量と力学的エネルギーが保存します.

水平方向の力の和が0なので運動量が保存し,非保存力がする仕事が0なので力学的が保存します.

運動量保存則と力学的エネルギー保存則が保存する条件は次の記事を参考にしてください.

★ 運動量保存則

$0=mv+MV$ $\dots (\ast)$

★ 力学的エネルギー保存則

$mgl=\dfrac{1}{2}mv^{2}+\dfrac{1}{2}MV^{2}$ $\dots (2\ast)$

NEKO
NEKO

$(\ast)$と$(2\ast)$より,$v$と$V$を求めます.

$(\ast)$より

$v=-\dfrac{M}{m}V$ $\dots (3\ast)$

$(3\ast)$を$(2\ast)$に代入すると

$\eqalign{\dfrac{1}{2}m\left(-\dfrac{M}{m}V\right)^{2}+\dfrac{1}{2}MV^{2}&=mgl\cr \dfrac{1}{2}MV^{2}\left(\dfrac{M}{m}+1\right)&=mgl\cr \dfrac{1}{2}MV^{2}\cdot \dfrac{M+m}{m}&=mgl \cr V^{2}&=\dfrac{2m^{2}gl}{M(M+m)}}$

$\therefore V=-m\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}$ (答) $\dots (4\ast)$

さらに,$(4\ast)$を$(3\ast)$に代入すると

$v=M\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}$ (答)

(2)

PHYさん
PHYさん

張力の大きさは$mg$ではないですよ.

理由は,つり合っていないからです.

床で止まっている人から見ると複雑な運動なので,台の上から物体の運動を観測しましょう.

台からみると,物体は円運動しています.

なので,台からみた円運動の運動方程式を立てましょう.

円運動の加速度

半径$r$,円運動の接線方向の速さを$v$,角速度を$\omega$とすると,向心加速度の大きさ$a$は

$a=\dfrac{v^{2}}{r}=r\omega^{2}$

向心加速度の向きは円運動の中心

台からみた物体の速度は$v-V$なので

$\eqalign{v-V&=M\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}-\left(-m\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}\right)\\&=(M+m)\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}\\&=\sqrt{\dfrac{2(M+m)gl}{M}}}$

したがって,台からみた物体の向心方向の運動方程式より

$m\dfrac{(v-V)^{2}}{l}=T-mg$

$\eqalign{T&=mg+m\dfrac{(v-V)^{2}}{l}\\&=mg+m\dfrac{1}{\cancel{l}}\dfrac{2(M+m)g\cancel{l}}{M}\\&=\left(\dfrac{2(M+m)}{M}+1\right)mg\\&=\dfrac{3M+2m}{M}mg}$

したがって,$T=\dfrac{3M+2m}{M}mg$(答)

コメント

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