<解答>
この問題は上で扱った問題とほぼ同じだね.
水平方向の運動量保存則と力学的エネルギー保存則を立てます.
★ 運動量保存則
$0=mv+MV$ $\dots (\ast)$
★ 力学的エネルギー保存則
$mgl=\dfrac{1}{2}mv^{2}+\dfrac{1}{2}MV^{2}$ $\dots (2\ast)$
$(\ast)$と$(2\ast)$より,$v$と$V$を求めます.
$(\ast)$より
$v=-\dfrac{M}{m}V$ $\dots (3\ast)$
$(3\ast)$を$(2\ast)$に代入すると
$\eqalign{\dfrac{1}{2}m\left(-\dfrac{M}{m}V\right)^{2}+\dfrac{1}{2}MV^{2}&=mgl\cr \dfrac{1}{2}MV^{2}\left(\dfrac{M}{m}+1\right)&=mgl\cr \dfrac{1}{2}MV^{2}\cdot \dfrac{M+m}{m}&=mgl \cr V^{2}&=\dfrac{2m^{2}gl}{M(M+m)}}$
$\therefore V=-m\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}$ (答) $\dots (4\ast)$
さらに,$(4\ast)$を$(3\ast)$に代入すると
$v=M\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}$ (答)
(2)
今回も張力の大きさは$mg$ではないことに注意してください.
床で止まっている人から見ると複雑な運動なので,物体2の上から物体の運動を観測しましょう.
物体2からみると,物体1は円運動しています.
なので,物体2からみた円運動の運動方程式を立てましょう.
物体2からみた物体1の速度は$v-V$なので
$\eqalign{v-V&=M\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}-\left(-m\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}\right)\\&=(M+m)\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}\\&=\sqrt{\dfrac{2(M+m)gl}{M}}}$
したがって,物体2からみた物体1の向心方向の運動方程式より
$m\dfrac{(v-V)^{2}}{l}=T-mg$
$\eqalign{T&=mg+m\dfrac{(v-V)^{2}}{l}\\&=mg+m\dfrac{1}{\cancel{l}}\dfrac{2(M+m)g\cancel{l}}{M}\\&=\left(\dfrac{2(M+m)}{M}+1\right)mg\\&=\dfrac{3M+2m}{M}mg}$
したがって,$T=\dfrac{3M+2m}{M}mg$(答)
(3)
最後は重心不変を利用します.
重心不変の問題はこちらでも紹介しています.
★ 重心不変の式
$\dfrac{m\cdot 0+M\cdot l}{M+m}=\dfrac{mx^{\prime}+Mx^{\prime}}{M+m}$
$\therefore x^{\prime}=\dfrac{M}{M+m}l$ (答)
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