[発展演習]円運動と相対運動2 | Physicmath（フィジクマス）

問題

図1のように，固定したレールがあり，物体2はレール上をなめらかに動くことができる．

物体2の質量は$M$であり，物体2には軽くて伸びない長さ$l$の糸がつながれている．

糸の他端には質量$m$の物体1が取りつけられている．物体1をレールと同じ高さまでもっていき，糸を張った．物体1と物体2の静止した状態から静かに手をはなすと，物体1は物体2に対して同一平面内を円運動し，物体2はレール上を動く．重力加速度の大きさを$g$として，次の問いに答えよ．ただし，図1の状態における物体1の位置を原点として，図の水平右向きに座標をとる．

(1)　水平右向きを速度の正の向きとする．糸は常に張っている状態で運動しているとして，物体1がはじめて最下点に達したときの物体1の速度$v$と物体2の速度$V$をそれぞれ$M$，$m$，$g$，$l$から必要なものを用いて表せ．

(2)　物体がはじめて最下点に達したときの張力の大きさ$T$を$m$，$M$，$g$，$l$を用いて表せ．

(3)　運動中，物体1と物体2にはたらく水平方向の力は常に0である．このことを用いて，物体1が最下点に達したときの物体1と2の$x$座標は一致している．このときの座標$x^{\prime}$を$M$，$m$，$l$を用いて表せ．

<解答>

NEKO

この問題は上で扱った問題とほぼ同じだね．

水平方向の運動量保存則と力学的エネルギー保存則を立てます．

★　運動量保存則

$0=mv+MV$　$\dots　(\ast)$

★　力学的エネルギー保存則

$mgl=\dfrac{1}{2}mv^{2}+\dfrac{1}{2}MV^{2}$　$\dots　(2\ast)$

NEKO

$(\ast)$と$(2\ast)$より，$v$と$V$を求めます．

$(\ast)$より

$v=-\dfrac{M}{m}V$　$\dots　(3\ast)$

$(3\ast)$を$(2\ast)$に代入すると

$\eqalign{\dfrac{1}{2}m\left(-\dfrac{M}{m}V\right)^{2}+\dfrac{1}{2}MV^{2}&=mgl\cr \dfrac{1}{2}MV^{2}\left(\dfrac{M}{m}+1\right)&=mgl\cr \dfrac{1}{2}MV^{2}\cdot \dfrac{M+m}{m}&=mgl \cr V^{2}&=\dfrac{2m^{2}gl}{M(M+m)}}$

$\therefore　V=-m\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}$　(答)　$\dots　(4\ast)$

さらに，$(4\ast)$を$(3\ast)$に代入すると

$v=M\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}$　(答)

(2)

PHYさん

今回も張力の大きさは$mg$ではないことに注意してください．

床で止まっている人から見ると複雑な運動なので，物体2の上から物体の運動を観測しましょう．

物体2からみると，物体1は円運動しています．

なので，物体2からみた円運動の運動方程式を立てましょう．

円運動の加速度

半径$r$，円運動の接線方向の速さを$v$，角速度を$\omega$とすると，向心加速度の大きさ$a$は

$a=\dfrac{v^{2}}{r}=r\omega^{2}$

向心加速度の向きは円運動の中心

物体2からみた物体1の速度は$v-V$なので

$\eqalign{v-V&=M\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}-\left(-m\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}\right)\\&=(M+m)\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)}}\\&=\sqrt{\dfrac{2(M+m)gl}{M}}}$

したがって，物体2からみた物体1の向心方向の運動方程式より

$m\dfrac{(v-V)^{2}}{l}=T-mg$

$\eqalign{T&=mg+m\dfrac{(v-V)^{2}}{l}\\&=mg+m\dfrac{1}{\cancel{l}}\dfrac{2(M+m)g\cancel{l}}{M}\\&=\left(\dfrac{2(M+m)}{M}+1\right)mg\\&=\dfrac{3M+2m}{M}mg}$

したがって，$T=\dfrac{3M+2m}{M}mg$（答）

(3)

NEKO

最後は重心不変を利用します．

重心不変の問題はこちらでも紹介しています．