前回は，重心が静止していたときの単振動の問題を扱いました．
今回は，重心自体がうごきつつ，重心からみた単振動を考えていきます．
前回の内容はこちら
図のように，水平で滑らかな床の上に，質量$m$，$2m$の物体がA，Bがばね定数$k$のばねによってつながれている．
はじめ，ばねは自然長の状態でAとBは静止している．
この状態から時刻$t=0$でAに瞬間的に力を加えて，大きさ$v_{0}$の初速度を図の向きに与えた．
このとき，次の問いに答えよ．
ただし，図の水平右向きを正とする．
(1) 時刻$t=0$における重心速度を求めよ．
(2) 重心からみた物体Bの単振動を周期を求めよ．
(3) 重心からみたBの振動の振幅を求めよ．
<解答>
重心速度の定義をまとめておこう！
速度$v_{1}$，$v_{2}$をもつ質量$m_{1}$，$m_{2}$の物体がある．
このときの重心速度$v_{\rm G}$は
$v_{\rm G}=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$
$t=0$のときのAの速度が$v_{0}$，Bの速度が0だから，重心の初速度$v_{\rm G0}$は次のようになるね．
$v_{\rm G0}=\dfrac{mv_{0}+2m\cdot 0}{m+2m}=\dfrac{1}{3}v_{0}$
したがって，答えは$v_{\rm G0}=\dfrac{1}{3}v_{0}$.
(2)
次に，ばね定数はばねの長さに反比例することを用いて，重心からみたA側のばね定数$k_{\rm A}$とB側のばね定数$k_{\rm B}$を計算してみよう．
ちなみに，重心は線分ABを$2:1$に内分した場所にあることがわかるね．
★ A側のばね定数
$k:k_{\rm A}=1:\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}$
$\therefore$ $k_{\rm A}=\dfrac{3}{2}k$
★ B側のばね定数
$k:k_{\rm B}=1:\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}}$
$\therefore$ $k_{\rm B}=3k$
それでは，重心からみたBの運動を解析しましょう．
運動方程式を立てる前に，重心からみたAとBの初速度$v_{\rm GA}$と$v_{\rm GB}$を調べておきましょう．
重心速度が(1)より，$v_{\rm G0}=\dfrac{1}{3}v_{0}$であることを用います．
★ 重心からみたAの相対初速度
$\dfrac{1}{3}v_{0}+v_{\rm GA}=v_{0}$ $\therefore v_{\rm GA}=\dfrac{2}{3}v_{0}$
★ 重心からみたBの相対初速度
$\dfrac{1}{3}v_{0}+v_{\rm GB}=0$ $\therefore v_{\rm GB}=-\dfrac{1}{3}v_{0}$
一応，確認しておくと，
$m\cdot \dfrac{2}{3}v_{0}+2m\cdot (-\dfrac{1}{3}v_{0})=0$
となっているので，重心からみた運動量の和は0となっています．
質量$m_{1}$，$m_{2}$の物体がある．
重心からみたそれぞれの速度を$v_{\rm G1}$，$v_{\rm G2}$とすると，次の式が成り立つ．
$m_{1}v_{\rm G1}+m_{2}v_{\rm G2}=0$
すなわち，重心からみた物体の運動量の和は0となる．
さて，重心からみたBの運動方程式を立てましょう．
自然長の位置を原点として，ばねが伸びる方向に$x_{\rm B}$軸をとります．
位置$x_{\rm B}$における加速度を$a_{\rm B}$としましょう．
★ 重心からみたBの運動方程式
$2ma_{\rm B}=-3kx_{\rm B}$
したがって，振動の中心は原点（自然長の位置），角振動数$\omega_{\rm B}$と振動の周期$T_{\rm B}$はそれぞれ
$\omega_{\rm B}=\sqrt{\dfrac{3k}{2m}}$
$T_{\rm B}=\dfrac{2\pi}{\omega_{\rm B}}=2\pi\sqrt{\dfrac{2m}{3k}}$
したがって，答えは，$T_{\rm B}=2\pi\sqrt{\dfrac{2m}{3k}}$です．
(3)
今回は，振幅を次の2通りの方法で求めましょう．
$\clubsuit$方法１$\clubsuit$ 速度の時間変化の利用
重心からみたBの振幅を$|A|$とします．
すると，時刻$t$における位置$x_{\rm B}$は
$\eqalign{x_{\rm B}&=A\sin\omega_{\rm B}t\\&=A\sin\sqrt{\dfrac{3k}{2m}}t}$
この式を$t$で微分して時刻$t$における速度$v_{\rm B}$を計算すると
$v_{\rm B}=A\sqrt{\dfrac{3k}{2m}}\cos\sqrt{\dfrac{3k}{2m}}t$ $\dots (\ast)$
ここで，初期条件$t=0$のとき，$v_{\rm B}=v_{\rm GB}=-\dfrac{1}{3}v_{0}$より
$-\dfrac{1}{3}v_{0}=A\sqrt{\dfrac{3k}{2m}}\cdot 1$
$\therefore$ $A=-\dfrac{1}{3}v_{0}\sqrt{\dfrac{2m}{3k}}$
したがって，振幅は$|A|=\dfrac{1}{3}v_{0}\sqrt{\dfrac{2m}{3k}}$
ちなみに，$A=-\dfrac{1}{3}v_{0}\sqrt{\dfrac{2m}{3k}}$を$(\ast)$に代入して
$\eqalign{v_{\rm B}&=-\dfrac{1}{3}v_{0}\sqrt{\dfrac{2m}{3k}}\cdot \sqrt{\dfrac{3k}{2m}}\cos\sqrt{\dfrac{3k}{2m}}t\\&=-\dfrac{1}{3}v_{0}\cos\sqrt{\dfrac{3k}{2m}}t}$
を得る．
$\clubsuit$方法2$\clubsuit$ 単振動のエネルギー保存の利用
質量$m$の物体の位置$x$における加速度を$a$とする．
また，定数$x_{0}$と正の定数$k$を用いて，運動方程式が
$ma=-k(x-x_{0})$
となるとき，この運動方程式を変形して
$\dfrac{1}{2}mv^{2}+\dfrac{1}{2}k(x-x_{0})^2=$一定
が成り立つ．ただし，$v$は速さである．
重心からみたBの運動方程式
$2ma_{\rm B}=-3kx_{\rm B}$
より，単振動のエネルギー保存
$\dfrac{1}{2}\cdot 2m v_{\rm B}^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot 3k x_{\rm B}^{2}=$一定
が成り立つ．
振動の中心と振動の端でこの保存則を適用する．
振幅を$A$として
$\eqalign{\dfrac{1}{2}\cdot 2m\cdot (-\dfrac{1}{3}v_{0})^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot 3k \cdot 0^{2}&=\dfrac{1}{2}\cdot 2m \cdot 0^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot 3kA^{2}\cr A^{2}&=\dfrac{2m}{3k}\cdot (\dfrac{1}{3}v_{0})^{2} \cr A&=\dfrac{1}{3}v_{0} \sqrt{\dfrac{2m}{3k}}}$
したがって，振幅は$\dfrac{1}{3}v_{0} \sqrt{\dfrac{2m}{3k}}$となります．
問題は以上になりますが，最後に物体Aと物体Bが時間とともにどのように移動していくのかを調べましょう．
上図のように，$t=0$における重心の位置を原点として，ばねお自然の長さ
を$l_{0}$としましょう．
すると，AとBの初期位置は$-\dfrac{2}{3}l_{0}$，$\dfrac{1}{3}l_{0}$です．
AとBにはたらく水平方向の力の和は0なので，重心加速度は0です．
したがって，重心は速度$\dfrac{1}{3}v_{0}$で等速直線運動します．
一方，重心からみたBの振動は今までの考察から
$-\dfrac{1}{3}v_{0}\sqrt{\dfrac{2m}{3k}}\sin\sqrt{\dfrac{3k}{2m}}t$
となるので，Bの時刻$t$における位置$x_{\rm B}(t)$は
$x_{\rm B}(t)=\dfrac{1}{3}l_{0}+\dfrac{1}{3}v_{0}t-\dfrac{1}{3}v_{0}\sqrt{\dfrac{2m}{3k}}\sin\sqrt{\dfrac{3k}{2m}}t$
となります．
重心の等速直線運動+単振動の形になっているね！
Aも同様に考えていけば
$x_{\rm A}=-\dfrac{2}{3}l_{0}+\dfrac{1}{3}v_{0}t+\dfrac{2}{3}v_{0}\sqrt{\dfrac{2m}{3k}}\sin\sqrt{\dfrac{3k}{2m}}t$
となり，$x-t$グラフは次のようになります．
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