[よくある質問]なぜばね定数は長さに反比例するのか？

ばね定数$k$が長さ$l$に反比例する理由ですか．

それでは，まずばね定数とは何か，というところから話しましょう．

一様で軽いばねを考えましょう．

ばねに力$F$を両端に加えて，ばねをを伸ばします．

このとき，ばねを伸ばすのに必要な力はばねの伸び$\Delta x$に比例することが知られています．

つまり，ばねを伸ばせば伸ばすほど大きな力を加える必要があります．

もちろん，比例関係が成り立つ限界はありますが，ここでは，比例関係が成り立つ範囲で考えましょう．

比例定数を$k$とすると

$F=k\Delta x$

の関係が成り立ちます．

このときの$k$をばね定数と呼びます．

はい．一応注意点としては，ばねに加える力は右側と左側それぞれ$F$の力を加えているのですが，$2F=k\Delta x$ではないということですね．

さて，次に2つのばねを直列に結んだときにはたらく力を考えてみましょう．

はい．

そして，赤いばねが青いばねを引っ張る力が$f_{青右}$で，青いばねが赤いばねを引く力が$f_{赤左}$です．

それでは，作用反作用の関係にあるものはどれですか？

その通りです．また，ばねの質量を無視しているので，運動していようと静止していようと，ばねにはたらく力の和は0になります．

$ma=F$

について，$m=0$のとき，

$F=0$

だからですね．

そういうことです．だから，ばねを直列に接続した場合は，どのばねにも平等に同じ力がはたらくわけですね．

これを踏まえた上で，$n$個のばねをについて考えてみましょう．

では，1つあたりのばね定数を$k$として，1つのばねの両端に力$f$を加えると，$\Delta x$伸びるとしましょう．

すると，$n$個のばね全体の伸びはいくらになるでしょう？

はい．

では，$n$個のばねを1つのばねとみてみましょう．

このばね定数を$K$とします．全体に加えている力が$f$でばねの伸びが$n\Delta x$なので，フックの法則より

$f=K\cdot n\Delta x$　$\dots (\ast)$

ですね．

そして，1つあたりのばねに着目してフックの法則を考えれば

$f=k\Delta x$　$\dots (2\ast)$

です．

$(\ast)$と$(2\ast)$から

$K=\dfrac{k}{n}$　$\dot　(\clubsuit)$

となります．

そういうことです．それでは，$K\varpropto \dfrac{1}{l}$を使った問題を解いてみましょう．