[よくある質問]なぜばね定数は長さに反比例するのか?

分野別

NEKO
NEKO

一様で軽いばねのばね定数$k$は,ばねの長さ$l$に反比例するんだよね.

つまり,

$k\varpropto \dfrac{1}{l}$

いろんなところで使うからなんとなく覚えていたけど,なんで反比例するの?

PHYさん
PHYさん

ばね定数$k$が長さ$l$に反比例する理由ですか.

それでは,まずばね定数とは何か,というところから話しましょう.

フックの法則

PHYさん
PHYさん

一様で軽いばねを考えましょう.

ばねに力$F$を両端に加えて,ばねをを伸ばします.

このとき,ばねを伸ばすのに必要な力はばねの伸び$\Delta x$に比例することが知られています.

つまり,ばねを伸ばせば伸ばすほど大きな力を加える必要があります.

もちろん,比例関係が成り立つ限界はありますが,ここでは,比例関係が成り立つ範囲で考えましょう.

比例定数を$k$とすると

$F=k\Delta x$

の関係が成り立ちます.

このときの$k$をばね定数と呼びます.

NEKO
NEKO

フックの法則だよね.

同じ$\Delta x$伸ばすのに必要な力が大きいとき,ばね定数は大きくなるから,硬いばねといえるね.

逆に,ばねを伸ばすのに必要な力が小さいときは,ばね定数が小さくなるので,やわらかいばねということだね.

PHYさん
PHYさん

はい.一応注意点としては,ばねに加える力は右側と左側それぞれ$F$の力を加えているのですが,$2F=k\Delta x$ではないということですね.

さて,次に2つのばねを直列に結んだときにはたらく力を考えてみましょう.

2つのばねにはたらく力(直列)

NEKO
NEKO

青いばねと赤いばねがあるね.

青いばねの左側には$f_{青左}$の力が,赤いばねの右側には$f_{赤右}$の力がかけらている.

さらに,ばねを伸ばすときにばねから手が受ける力が$f_{左}$と$f_{右}$だね.

PHYさん
PHYさん

はい.

そして,赤いばねが青いばねを引っ張る力が$f_{青右}$で,青いばねが赤いばねを引く力が$f_{赤左}$です.

それでは,作用反作用の関係にあるものはどれですか?

NEKO
NEKO

$f_{左}$と$f_{青左}$$f_{青右}$$f_{赤左}$$f_{赤右}$と$f_{右}$だね.

PHYさん
PHYさん

その通りです.また,ばねの質量を無視しているので,運動していようと静止していようと,ばねにはたらく力の和は0になります.

$ma=F$

について,$m=0$のとき,

$F=0$

だからですね.

NEKO
NEKO

ということは,$f_{青左}$$f_{青右}$の力の大きさは同じだし,$f_{赤左}$$f_{赤右}$の力も大きさも同じなんだ!

結局

$f_{左}$,$f_{青左}$$f_{青右}$$f_{赤左}$$f_{赤右}$,$f_{右}$

すべての力の大きさが同じなんだね!

PHYさん
PHYさん

そういうことです.だから,ばねを直列に接続した場合は,どのばねにも平等に同じ力がはたらくわけですね.

これを踏まえた上で,$n$個のばねをについて考えてみましょう.

$n$個のばねを直列に結ぶ

NEKO
NEKO

2つのばねのときと同じように考えることができるね.

力$f$を両端に加えると,すべてのばねに同じ力$f$がかかるんだ.

PHYさん
PHYさん

では,1つあたりのばね定数を$k$として,1つのばねの両端に力$f$を加えると,$\Delta x$伸びるとしましょう.

すると,$n$個のばね全体の伸びはいくらになるでしょう?

NEKO
NEKO

どのばねも力$f$で引っ張られていて,1つあたり$\Delta x$伸びるばねが$n$個あるんだから,全体のばねの伸びは$n\Delta x$だね.

PHYさん
PHYさん

はい.

では,$n$個のばねを1つのばねとみてみましょう.

このばね定数を$K$とします.全体に加えている力が$f$でばねの伸びが$n\Delta x$なので,フックの法則より

$f=K\cdot n\Delta x$ $\dots (\ast)$

ですね.

そして,1つあたりのばねに着目してフックの法則を考えれば

$f=k\Delta x$ $\dots (2\ast)$

です.

$(\ast)$と$(2\ast)$から

$K=\dfrac{k}{n}$ $\dot (\clubsuit)$

となります.

NEKO
NEKO

$n$が長さに相当するんだね.$n=\alpha l$とすれば$(\clubsuit)$は

$K=\dfrac{k}{\alpha l}$

つまり,

$K\varpropto \dfrac{1}{l}$

になるね!

PHYさん
PHYさん

そういうことです.それでは,$K\varpropto \dfrac{1}{l}$を使った問題を解いてみましょう.

ばね定数$\varpropto \dfrac{1}{長さ}$ を利用した問題

問題

ばね定数$k$のばねを次のように分割したときのそれぞれのばね定数を求めよ.

(1) ばねを半分に分割する.

(2) ばねを左から$2:3$で分割する.

(3) ばねを左から$4:5$で分割する.

<解答> 分割したばねを左から$k_{L}$,$k_{R}$と名前を付けましょう.

(1) ばね定数は長さに反比例するので

$k_{L}:k=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}:\dfrac{1}{1}=2:1$

したがって,

$k_{L}=2k$

$k_{R}$も同様に計算して,$k_{R}=2k$

(2) ばね定数は長さに反比例するので

$k_{L}:k=\dfrac{1}{\dfrac{2}{5}}:\dfrac{1}{1}=5:2$

したがって,

$k_{L}=\dfrac{5}{2}k$

同様に

$k_{R}:k=\dfrac{1}{\dfrac{3}{5}}:\dfrac{1}{1}=5:3$

したがって,

$k_{R}=\dfrac{5}{3}k$

(3) ばね定数は長さに反比例するので

$k_{L}:k=\dfrac{1}{\dfrac{4}{9}}:\dfrac{1}{1}=9:4$

したがって,

$k_{L}=\dfrac{9}{4}k$

同様に

$k_{R}:k=\dfrac{1}{\dfrac{5}{9}}:\dfrac{1}{1}=9:5$

したがって,

$k_{R}=\dfrac{9}{5}k$

NEKO
NEKO

ばね定数$\varpropto \dfrac{1}{長さ}$は覚えていれば使い方は難しくないね!

まとめ

  • 一様で軽いばねはどの部分もはたらく力が同じである.
  • そのため,力を加えるとばねが長ければ長いほど各部分が伸びる.
  • ばね定数は単位長さ伸ばすのに必要な力であるから,ばねが長いほどその力は小さく済む.
  • 以上のことをイメージして$k\varpropto \dfrac{1}{l}$を思い出す.

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