[基本]単振動の演習問題④　周期を求める．

まず，単振動の時刻$t$における位置$x$は，振動の中心$x_{0}$，振幅$A$，角振動数$\omega$，初期位相$\theta_{0}$を用いて

$x=x_{0}+A\sin(\omega t +\theta_{0})$　$\dots (\ast)$

と表すことができます．この式を時間$t$で微分すると速度を得ます．

$v=A\omega\cos(\omega t +\theta_{0})$

さらに，時間$t$で微分して加速度を得ます．

$a=-A\omega^2\sin(\omega t+ \theta_{0})$　$\dots (2\ast)$

ところで，$\dots (\ast)$より，$x-x_{0}=A\sin(\omega t+\theta_{0})$なので，これを$\dots (2\ast)$に代入すると

$a=-\omega^2 (x-x_{0})$

を得ます．つまり，$(\clubsuit)$の両辺$m$で割った

$a=-\dfrac{k}{m}(x-x_{0})$

と比較すれば，

$\omega^2=\dfrac{k}{m}$　$\therefore \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

となるのです.もし，$\omega$の分母が$m$なのか$k$なのかがわからなくなったら，運動方程式を思い出しましょう．$ma=-k(x-x_{0})$を両辺$m$で割った$a=-\dfrac{k}{m}(x-x_{0})$の$\dfrac{k}{m}$部分が$\omega$と関係してくるのです．

<解答>とにかく，$ma=-k(x-x_{0})$の形を作ります．その後$a=-\dfrac{k}{m}(x-x_{0})$として，角振動数$\omega$を求めたあとに，$T=\dfrac{2\pi}{\omega}$より周期を求めます．

(1)　$a=-\dfrac{k}{M+m}x$より，角振動数$\omega$は

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}$

周期$T$は

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\dfrac{M+m}{k}}$

(2)　$ma=-kx+ \mu mg$を$ma=-k\left(x-\dfrac{\mu mg}{k}\right)$と変形して$a=-\dfrac{k}{m}\left(x-\dfrac{\mu mg}{k}\right)$から角振動数$\omega$は

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

周期$T$は

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$

(3)　$ma=-k_{1}x-k_{2}x$より，$ma=-(k_{1}+k_{2})x$と変形して，$a=-\dfrac{k_{1}+k_{2}}{m}x$より角振動数$\omega$は

$\omega=\sqrt{\dfrac{k_{1}+k_{2}}{m}}$

周期$T$は

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_{1}+k_{2}}}$

(4)　$ma=-k_{1}x-k_{2}x+\mu mg$より，$ma=-(k_{1}+k_{2})\left(x+\dfrac{\mu mg}{k_{1}+k_{2}}\right)$と変形して，$a=-\dfrac{k_{1}+k_{2}}{m}\left(x+\dfrac{\mu mg}{k_{1}+k_{2}}\right)$より角振動数$\omega$は

$\omega=\sqrt{\dfrac{k_{1}+k_{2}}{m}}$

周期$T$は

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_{1}+k_{2}}}$

(5)　$(M+m)a=(M+m)g-kx$より，$(M+m)a=-k\left(x-\dfrac{M+m}{k}g\right)$と変形して，$a=-\dfrac{k}{M+m}\left(x-\dfrac{M+m}{k}g\right)$より，角振動数$\omega$は

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}$

周期$T$は

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\dfrac{M+m}{k}}$