今回から発展問題を扱います．
本日は，1つのばねに2つの物体が取り付けられた際の単振動の問題です．
かなり複雑な運動をしますが，観測者を変えることで，簡単な運動の組み合わせと考えることができます．
では，さっそく問題を見てみましょう！
図のように水平で滑らかな床の上に質量$m$の2つ物体A,Bがばね定数$k$の軽いばねによってつながれている．
自然長の状態からAとBに力を加えてばねを$2l$だけ伸ばして静かにはなした．
その後の運動について，次の問いに答えよ．
(1) 任意の時刻におけるAとBの重心の速度を求めよ．
(2) 重心からみたBの運動を考える．このとき，ばねの長さはもとの半分になっている．このことから，重心と物体Bの間のばね定数を求めよ．
(2)のとき，最初Bは重心からみて自然長から$l$だけ伸びている．自然長の位置を原点として，ばねが伸びる方向に$x$座標をとる．両物体を静かにはなした時刻を$t=0$として，時刻$t$における重心から見た物体Bの座標を求めたい．
(3) 物体Bが座標$x$にいるときの加速度を$a$とする．このときの物体Bの運動方程式を立てよ．
(4) (3)より，時刻$t$における位置$x$の式を求めよ．
<解答>
(1)
重心の運動を知るには，重心の運動方程式を立てればいいんだったね．
質量$m_{1}$，$m_{2}$の物体の重心の加速度を$a_{\rm G}$とする．2つの物体にはたらいている力をそれぞれ$F_{1}$，$F_{2}$とすると，次の式が成り立つ．
$(m_{1}+m_{2})a_{\rm G}=F_{1}+F_{2}$
この問題では，物体A，Bにはたらく力は弾性力のみだね．
つまり，力の和はつねに0だね．
だから，重心の運動方程式は次のようになるよ．
★ 重心の運動方程式
$(m+m)a_{\rm G}=0$ $\therefore a_{\rm G}=0$
重心の加速度は0だね．
重心が速度の変化は0ということは，もともと，AとBの物体は静止していて，重心も静止していたので，重心速度はずっと0となるよ．
答え 重心速度は0
(2)
ばね定数は長さに反比例するんだったね．
理由が知りたい人は次の記事を読んでみてね．演習問題もついてるよ．
したがって，Bの方のばね定数を$k_{\rm B}$とすると
$k:k_{\rm B}=1:\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=1:2$
$\therefore$ $k_{\rm B}=2k$(答)
(3)
ばね全体を$2l$だけ伸ばしていて，重心はAとBの中点にあるから，重心からみたBの方のばねの伸びは$l$なんだね．
問題での設定どおり，自然長の位置を原点として，位置$x$にあるときの物体Bの加速度を$a$としましょう．
★ 重心からみた物体Bの運動方程式
$ma=-2kx$（答）
この運動方程式から，振動の中心$x_{0}$，角振動数$\omega$，周期$T$は次のようになります．
$x_{0}=0$，$\omega=\sqrt{\dfrac{2k}{m}}$，$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{2k}}$
(4)
$t=0$で最大の位置にいて，負の方向へ動き出すんだから$\cos$型だね．
したがって，$x$と$t$の関係は次のようになるよ．
$x=l\cos\sqrt{\dfrac{2k}{m}}t$ (答)
ちなみに，グラフをかくと次のようになります．
AもBとまったく同じ条件だから，同じ運動になるはずだよね．
はい．AとBを同時にかくと，次のようになります．
角振動数が同じだから，同じタイミングで遠ざかって，同じタイミングで近づくんだね．
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