[発展]単振動の演習問題① 2つの物体の単振動①

分野別
PHYさん
PHYさん

今回から発展問題を扱います.

本日は,1つのばねに2つの物体が取り付けられた際の単振動の問題です.

かなり複雑な運動をしますが,観測者を変えることで,簡単な運動の組み合わせと考えることができます.

NEKO
NEKO

では,さっそく問題を見てみましょう!

問題

図のように水平で滑らかな床の上に質量$m$の2つ物体A,Bがばね定数$k$の軽いばねによってつながれている.

自然長の状態からAとBに力を加えてばねを$2l$だけ伸ばして静かにはなした.

その後の運動について,次の問いに答えよ.

(1) 任意の時刻におけるAとBの重心の速度を求めよ.

(2) 重心からみたBの運動を考える.このとき,ばねの長さはもとの半分になっている.このことから,重心と物体Bの間のばね定数を求めよ.

 (2)のとき,最初Bは重心からみて自然長から$l$だけ伸びている.自然長の位置を原点として,ばねが伸びる方向に$x$座標をとる.両物体を静かにはなした時刻を$t=0$として,時刻$t$における重心から見た物体Bの座標を求めたい.

(3) 物体Bが座標$x$にいるときの加速度を$a$とする.このときの物体Bの運動方程式を立てよ.

(4) (3)より,時刻$t$における位置$x$の式を求めよ.

<解答>

(1)

NEKO
NEKO

重心の運動を知るには,重心の運動方程式を立てればいいんだったね.

重心の運動方程式

質量$m_{1}$,$m_{2}$の物体の重心の加速度を$a_{\rm G}$とする.2つの物体にはたらいている力をそれぞれ$F_{1}$,$F_{2}$とすると,次の式が成り立つ.

$(m_{1}+m_{2})a_{\rm G}=F_{1}+F_{2}$

NEKO
NEKO

この問題では,物体A,Bにはたらく力は弾性力のみだね.

つまり,力の和はつねに0だね.

だから,重心の運動方程式は次のようになるよ.

★ 重心の運動方程式

$(m+m)a_{\rm G}=0$ $\therefore a_{\rm G}=0$

NEKO
NEKO

重心の加速度は0だね.

重心が速度の変化は0ということは,もともと,AとBの物体は静止していて,重心も静止していたので,重心速度はずっと0となるよ.

答え 重心速度は0

(2) 

したがって,Bの方のばね定数を$k_{\rm B}$とすると

$k:k_{\rm B}=1:\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=1:2$

$\therefore$ $k_{\rm B}=2k$(答)

(3) 

NEKO
NEKO

ばね全体を$2l$だけ伸ばしていて,重心はAとBの中点にあるから,重心からみたBの方のばねの伸びは$l$なんだね.

NEKO
NEKO

問題での設定どおり,自然長の位置を原点として,位置$x$にあるときの物体Bの加速度を$a$としましょう.

★ 重心からみた物体Bの運動方程式

$ma=-2kx$(答)

NEKO
NEKO

この運動方程式から,振動の中心$x_{0}$,角振動数$\omega$,周期$T$は次のようになります.

$x_{0}=0$,$\omega=\sqrt{\dfrac{2k}{m}}$,$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{2k}}$

(4) 

NEKO
NEKO

$t=0$で最大の位置にいて,負の方向へ動き出すんだから$\cos$型だね.

したがって,$x$と$t$の関係は次のようになるよ.

$x=l\cos\sqrt{\dfrac{2k}{m}}t$ (答)

PHYさん
PHYさん

ちなみに,グラフをかくと次のようになります.

NEKO
NEKO

AもBとまったく同じ条件だから,同じ運動になるはずだよね.

PHYさん
PHYさん

はい.AとBを同時にかくと,次のようになります.

NEKO
NEKO

角振動数が同じだから,同じタイミングで遠ざかって,同じタイミングで近づくんだね.

コメント

  1. […] […]