[説明]演習問題に入る前に[単振動]

分野別
NEKO
NEKO

この記事では単振動の基本的なことを説明します.説明を読んだらぜひ演習問題をやってみてください.

等速円運動

PHYさん
PHYさん

単振動を説明するにはまず”等速円運動”について説明する必要があります.

一定の速さで円運動することを等速円運動といいます.

NEKO
NEKO

円運動は出てくる文字が多いから大変なんだよね.

整理しておかなくちゃ.

PHYさん
PHYさん

まず,等速円運動で使用する物理量を紹介しましょう.単位は一番よく使う$[\rm{m}]$と$[\rm{s}]$を使っています.

  • 半径$r[\rm{m}]$ $\dots$ 物体が等速円運動をする半径
  • 速さ$v[\rm{m/s}]$ $\dots$ 物体の円運動の接線方向の速さ
  • 回転角度$\theta [\rm{rad}]$ $\dots$ 物体が回転した角度
  • 角速度$\omega [\rm{rad/s}]$ $\dots$ 物体が単位時間あたりに回転する角度
  • 周期$T[\rm{s}]$ $\dots$ 物体が1周するのにかかる時間
  • 回転数$f[\rm{Hz}],[\rm{\dfrac{1}{s}}]$ $\dots$ 物体が単位時間あたりに回転する回数
PHYさん
PHYさん

次の関係式は意識して覚えるほどのものでもないでしょう.

$2\pi r =vT$ $\dots$ $(\ast)$

NEKO
NEKO

$2\pi r$は円周の長さで,周期$T$は1周するのにかかる時間だから,物体が1周したときの道のりと速さと時間の関係だね!

PHYさん
PHYさん

次の関係式も意味を考えれば難しくありません.

$2\pi= \omega T$ $\dots$ $(2\ast)$

NEKO
NEKO

$2\pi$は1周したときの角度,$\omega$は角を回る速さ,$T$は1周するのにかかる時間だから,物体が1周したときの角度と角の速さと時間の関係だね.

PHYさん
PHYさん

上の2つはセットで頭に入れておくとよいでしょう.

道のり=速さ×時間

角度=角速度×時間

です.

NEKO
NEKO

角度の関係は一般的に

$\theta =\omega t$ $(3\ast)$

とかけるね.

PHYさん
PHYさん

そうですね.ちなみに,$(2\ast)$は

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}$

と変形して周期を求める際によく使います.

PHYさん
PHYさん

また,回転数$f$と周期$T$の関係は比例式を立てれば理解できます.

周期$T$は$1$回転するのにかかる時間$[\rm{s}]$,回転数$f$は1$\rm{s}$で回転する回数なので

$1回転:T[\rm{s}]=f[回転]:1 \rm{s}$

$\therefore fT=1$

NEKO
NEKO

ということは$(2\ast)$も合わせて

$\omega =\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f$

の関係が成り立つね.

PHYさん
PHYさん

そうですね.

一通り円運動のときに使う物理量を説明したところで,いよいよ単振動の話にうつります.

単振動は等速円運動の影の運動

PHYさん
PHYさん

上図のようにある半径の円上を等速円運動している物体を考えてみます.そこに,$y$軸に対して垂直な光を$x$軸の負の方向から当てていきましょう.$x$軸の正の場所にスクリーンを用意しておくと,影は上図右側の青い点で示したように動くはずです.

NEKO
NEKO

$\rm{O^{\prime}}$付近では速くて,$\rm{A^{\prime}}$や$\rm{B^{\prime}}$は遅いんだね.

PHYさん
PHYさん

そうなんです.この影は場所によって速くなったり遅くなったりするんです.

そして,この青い影の運動を単振動といいます.

NEKO
NEKO

今回は影の運動は物体が等速円運動しているときの$y$座標に相当しているね.

PHYさん
PHYさん

上図のように中心が原点で半径$A$の等速円運動を考えていましょう.$t=0$で$(A,0)$からスタートし,反時計回りに角速度$\omega$で回転するとしましょう.

このとき,時間$t$で回転する角度は$(3\ast)$より

$\theta =\omega t$

です.あとは,三角関数の定義を使えば$y$座標はでますね.

NEKO
NEKO

単位円上の$x$座標が$\cos$,単位円上の$y$座標が$\sin$だったね.

ってことは,この影の座標は

$y=A\sin \omega t$

となるんだ.

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