※ 問題文訂正 「ただし，電場の大きさは$E$とする．」を追加．
＜解答＞
まずは，速さの最大値と最小値から．
ローレンツ力は仕事をしないので，運動エネルギーの変化に影響はない．
小球には常に$y$軸負の方向に大きさ$QE$の静電気力がはたらいているので，座標$(0，-l)$にいるときに速さが最大となって，座標$(0，l)$にいるとき，速さは最小となる．
※重力が$y$軸負の方向にはたらきながら円運動をするときをイメージすればよい．
速さの最大値を$v_{\rm max}$，最小値を$v_{\rm min}$とし，運動エネルギーの変化と外力（静電気力）がした仕事の関係式を立てると，
$\dfrac{1}{2}mv_{\rm max}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=QEl$
$\therefore\,\, v_{\rm max}=\sqrt{v_{0}^{2}+\dfrac{2QEl}{m}}$(答)
同様にして最小値も考える．静電気力が負の仕事をしていることに注意．
$\dfrac{1}{2}mv_{\rm min}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=-QEl$
$\therefore\,\, v_{\rm min}=\sqrt{v_{0}^{2}-\dfrac{2QEl}{m}}$(答)
次に張力について，最も気をつけなくてはいけなことは，ローレンツ力の向き．たとえば，$(l，0)$に小球がある場合，$y$軸負の方向に速度（左手中指）をもっていて，磁場が$z$軸負（左手中指）の方向なので，ローレンツ力は$x$軸正の向き（左手親指）を向く．このように，この問題では，ローレンツ力は常に円運動の中心方向と反対方向にローレンツ力がはたらく．
張力が一番大きくなるところは$(0，-l)$に小球があるとき（張力とは反対方向に静電気力，ローレンツ力（しかも速さ最大なので，ローレンツ力の大きさも最大），小球とともに回転している系だと遠心力もはたらき，張力が最大値になることがわかる）であり，中心方向に張力$T_{\rm max}$，中心とは反対方向に静電気力とローレンツ力の和$QE+v_{\rm max}BQ$がはたらくので，向心方向の運動方程式より
$m\dfrac{v_{\rm max}^{2}}{l}=T_{\rm max}-QE-v_{\rm max}BQ$
$v_{\rm max}=\sqrt{v_{0}^{2}+\dfrac{2QEl}{m}}$より
$\eqalign{T_{\rm max}&=QE+v_{\rm max}BQ+m\dfrac{v_{\rm max}^{2}}{l}\\&=QE+BQ\sqrt{v_{0}^{2}+\dfrac{2QEl}{m}}+\dfrac{m}{l}\times \left(v_{0}^{2}+\dfrac{2QEl}{m}\right)\\&=\dfrac{mv_{0}^{2}}{l}+Q\left\{3E+B\sqrt{v_{0}^{2}+\dfrac{2QEl}{m}}\right\}}$(答)
また，張力が最小になるのは，$(0，l)$に小球があるときであり，このときの張力を$T_{\rm min}$とする．向心方向の運動方程式より
$m\dfrac{v_{\rm min}^{2}}{l}=T_{\rm min}+QE-v_{\rm min}BQ$
$v_{\rm min}=\sqrt{v_{0}^{2}-\dfrac{2QEl}{m}}$より
$\eqalign{T_{\rm min}&=-QE+v_{\rm min}BQ+m\dfrac{v_{\rm min}^{2}}{l}\\&=-QE+BQ\sqrt{v_{0}^{2}-\dfrac{2QEl}{m}}+\dfrac{m}{l}\times \left(v_{0}^{2}-\dfrac{2QEl}{m}\right)\\&=\dfrac{mv_{0}^{2}}{l}+Q\left\{-3E+B\sqrt{v_{0}^{2}-\dfrac{2QEl}{m}}\right\}}$（答）
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