仕事を計算する際に細かなルール

一次元の等加速度運動の場合

$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$の両辺に$\dfrac{1}{2}m$をかけて

$\eqalign{\dfrac{1}{2}mv^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}&=\dfrac{1}{2}m\cdot 2a_{x}x\cr\dfrac{1}{2}mv^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}&=ma_{x}x}$　$\dots　(4\ast)$

運動方程式は

$ma_{x}=F_{x}$　$\dots　(5\ast)$

$\eqalign{\dfrac{1}{2}mv^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}&=ma_{x}x\\&=F_{x}x=W_{x}}$

一次元の非等加速度運動の場合

$\cancel{\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}}-\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}=F_{1}(x_{2}-x_{1})$

$\cancel{\dfrac{1}{2}mv_{3}^{2}}-\cancel{\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}}=F_{2}(x_{3}-x_{2})$

$\cancel{\dfrac{1}{2}mv_{4}^{2}}-\cancel{\dfrac{1}{2}mv_{3}^{2}}=F_{3}(x_{4}-x_{3})$

$\dots$

$\dfrac{1}{2}mv_{n}^{2}-\cancel{\dfrac{1}{2}mv_{n-1}^{2}}=F_{n-1}(x_{n}-x_{n-1})$

$\dfrac{1}{2}mv_{n}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}=W_{1}+W_{2}+\dots+W_{n-1}$

仕事の正負について

二次元のエネルギーの原理

$v_{x}^{2}-v_{x0}^{2}=2a_{x}x$，$v_{y}^{2}-v_{y0}^{2}=2a_{y}y$

$v_{x}^{2}+v_{y}^{2}-(v_{x0}^{2}+v_{y0}^{2})=2(a_{x}x+a_{y}y)$

$\eqalign{\dfrac{1}{2}m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})-\dfrac{1}{2}m(v_{x0}^{2}+v_{y0}^{2})&=\dfrac{1}{2}m\cdot 2(a_{x}x+a_{y}y)\\&=ma_{x}x+ma_{y}y\\&=F_{x}x+F_{y}y}$

$\dfrac{1}{2}mv^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=W_{x}+W_{y}$

仕事はベクトル？スカラー？

仕事のもう1つの計算

上図において，OA間で外力がした仕事$W$は

$W=F_{x}x+F_{y}y$　$\dots　(\clubsuit)$

$F_{x},F_{y}$をOA方向とそれに垂直な方向に分解して仕事を計算します．

$F_{x}$のOA方向の成分は$F_{x}\cos\theta$，$F_{y}$のOA方向の成分は$F_{y}\sin\theta$なので，OA間で外力がする仕事は

$W=(F_{x}\cos\theta+F_{y}\sin\theta)\cdot {\rm OA}$

ここで，${\rm OA}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，$\cos \theta=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$，$\sin\theta \sqrt{x^{2}+y^{2}}$より

$\eqalign{W&=(F_{x}\cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+F_{y}\cdot \dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}})\cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}}\\&=F_{x}x+F_{y}y}$　$\dots　(\spadesuit)$

まとめ