[鉛直面内の円運動]最高点に達する条件

最高点Cでの垂直抗力$>0$

★　力学的エネルギー保存則

Aの位置を重力の位置エネルギーの基準点とします．また，円筒の半径を$r$としましょう．

AとPとの高さの差は

$r+r\sin\theta=r(1+\sin\theta)$

Aにおける速さを$v_{0}$，Pにおける速さを$v$とすると，力学的エネルギー保存則より

$\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}+0=\dfrac{1}{2}mv^{2}+mgr(1+\sin\theta)$　

これを$v^{2}$について解くと

$v^{2}=v_{0}^{2}-2gr(1+\sin\theta)$　$\dots　(\ast)$

★　向心方向の運動方程式

PにおけるO方向の加速度は$\dfrac{v^{2}}{r}$です．

Oの方向には，円筒面からの垂直抗力（大きさを$N$とする）と重力を分解した成分$mg\sin\theta$があります．

したがって，PにおけるO方向の運動方程式は

$m\dfrac{v^{2}}{r}=N+mg\sin\theta$　$\dots　(2\ast)$

$(\ast)$を$(2\ast)$に代入して

$\eqalign{\dfrac{m}{r}\cdot \{v_{0}^{2}-2gr(1+\sin\theta)\}&=N+mg\sin\theta \cr m\dfrac{v_{0}^{2}}{r}-2mg(1+\sin\theta)&=N+mg\sin\theta \cr N=m\dfrac{v_{0}^{2}}{r}-(3+2\sin\theta)mg}$

つまり，最高点に達する条件は，$\theta =\dfrac{\pi}{2}$のとき，$N>0$つまり

$\eqalign{m\dfrac{v_{0}^{2}}{r}-(3+2\sin\dfrac{\pi}{2})mg&>0 \cr m\dfrac{v_{0}^{2}}{r}&>5mg \cr v_{0}&>\sqrt{5gr}}$

Cでの位置エネルギーは$mg\cdot 2r=2mgr$であるから

$\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}>2mgr$

$\therefore　v_{0}>\sqrt{4gr}$