[鉛直面内の円運動]最高点に達する条件

分野別
NEKO
NEKO

物体が半円筒に接しながら円運動をして,最高点に達する条件について話です.

問題文には,「半円筒に接しながら,」の部分は書かれていないことも多いです.

NEKO
NEKO

上図のように,水平面で初速度を与えて,鉛直面内を円運動します.

A→B→Cと最高点Cに達する条件は,次のようになります.

最高点Cでの垂直抗力$>0$

NEKO
NEKO

よくある間違いとしては,

Aでの運動エネルギー$>$Cでの重力による位置エネルギー

としてしまうことです.

なぜ,これではだめなのかも話していきます.

NEKO
NEKO

では,まず途中経過を考えましょう.

A→Bでは円筒面から離れることはないのでよいでしょう.

B→Cの間のPにいるときを考えます.

$\angle \rm POB=\theta$としましょう.

今回は次の2つの式を立てます.

  • 力学的エネルギー保存則
  • Pにおける向心方向の運動方程式

★ 力学的エネルギー保存則

Aの位置を重力の位置エネルギーの基準点とします.また,円筒の半径を$r$としましょう.

AとPとの高さの差は

$r+r\sin\theta=r(1+\sin\theta)$

Aにおける速さを$v_{0}$,Pにおける速さを$v$とすると,力学的エネルギー保存則より

$\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}+0=\dfrac{1}{2}mv^{2}+mgr(1+\sin\theta)$ 

これを$v^{2}$について解くと

$v^{2}=v_{0}^{2}-2gr(1+\sin\theta)$ $\dots (\ast)$

★ 向心方向の運動方程式

PにおけるO方向の加速度は$\dfrac{v^{2}}{r}$です.

Oの方向には,円筒面からの垂直抗力(大きさを$N$とする)と重力を分解した成分$mg\sin\theta$があります.

したがって,PにおけるO方向の運動方程式は

$m\dfrac{v^{2}}{r}=N+mg\sin\theta$ $\dots (2\ast)$

NEKO
NEKO

$(\ast)$を$(2\ast)$に代入して,垂直抗力の大きさ$N$を$\theta$の関数として表してみましょう.

$(\ast)$を$(2\ast)$に代入して

$\eqalign{\dfrac{m}{r}\cdot \{v_{0}^{2}-2gr(1+\sin\theta)\}&=N+mg\sin\theta \cr m\dfrac{v_{0}^{2}}{r}-2mg(1+\sin\theta)&=N+mg\sin\theta \cr N=m\dfrac{v_{0}^{2}}{r}-(3+2\sin\theta)mg}$

NEKO
NEKO

$\sin\theta$は$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$の範囲では,$\theta$が大きくなると,$\sin\theta$も大きくなります

上の式からわかるように,$\theta$が大きくなると,$N$がだんだんと小さくなっていきます.

$N$が0になると,その地点で円筒から離れます.

なので,BからCの各地点で$N>0$であればよいのですが,最高点に達する条件を考えるだけであれば,

最高点での$N>0$

だけでよいです.

理由は明白.$\theta$が大きい,つまり,上にいけば上にいくほど,$N$が小さくなっていくのがわかったので,最高点で$N>0$であれば,他の点でも$N>0$であることが保証されているからです.

つまり,最高点に達する条件は,$\theta =\dfrac{\pi}{2}$のとき,$N>0$つまり

$\eqalign{m\dfrac{v_{0}^{2}}{r}-(3+2\sin\dfrac{\pi}{2})mg&>0 \cr m\dfrac{v_{0}^{2}}{r}&>5mg \cr v_{0}&>\sqrt{5gr}}$

NEKO
NEKO

言い換えれば,$v_{0}>\sqrt{5gr}$を満たす$v_{0}$でなければ,途中で円筒を離れてしまうことになります.

NEKO
NEKO

では,Aでの運動エネルギー$>$Cでの位置エネルギーでは,なぜだめなのかを確かめましょう.

Cでの位置エネルギーは$mg\cdot 2r=2mgr$であるから

$\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}>2mgr$

$\therefore v_{0}>\sqrt{4gr}$

NEKO
NEKO

これでは,$v_{0}>\sqrt{5gr}$を満たしませんね...

今回は,離れずに最高点に達する条件を考えているんです.

円筒面を離れず最高点に達する条件

円筒面が動かない場合,円筒面を離れず最高点に達する条件は

最高点での垂直抗力$>0$

である.この条件式をつくるのに,以下の2つの式を立てる.

  • 力学的エネルギー保存則
  • 向心方向の運動方程式

コメント

  1. […] [鉛直面内の円運動]最高点に達する条件 […]