$\dfrac{dy}{dt}=\lambda y$型の微分方程式微分方程式を解く[やや難]

上のようになる理由を示しておきましょう．

$\dfrac{dy}{dt}=\lambda y$

について．両辺$y$で割ると

$\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dt}=\lambda$

両辺$t$で積分する．

$\displaystyle{\int{\dfrac{1}{y}}\dfrac{dy}{dt}dt=\lambda\int{}dt}$

$\therefore$　$\displaystyle{\int{\dfrac{1}{y}}dy=\lambda\int{}dt}$

積分定数を$C$として積分計算をすると

$\eqalign{\log{y}&=\lambda t+C\\&=\log{(e^{\lambda t+C})}\\&=\log{(e^{C}\cdot e^{\lambda t})}}$

両辺の真数部分をみて

$y=e^{C}e^{\lambda t}$

$K=e^{C}$とおけば

$y=Ke^{\lambda t}$

<解答>　以下，積分定数を$K$とする．

(1)　

$\dfrac{dv}{dt}=-\dfrac{B^{2}l^{2}}{mR}v$

より，

$v=Ke^{-\frac{B^{2}l^{2}}{mR}t}$　(答)

(2)　

$\dfrac{dv}{dt}=-\dfrac{k}{m}(v-\dfrac{mg}{k})$　$\dots　(\spadesuit)$

ここで，$v^{\prime}=v-\dfrac{mg}{k}$とおくと，

$\eqalign{\dfrac{dv^{\prime}}{dt}&=\dfrac{d}{dt}(v-\dfrac{mg}{k})\\&=\dfrac{dv}{dt}}$

したがって，$(\spadesuit)$は次のように変形できる．

$\dfrac{dv^{\prime}}{dt}=-\dfrac{k}{m}v^{\prime}$

したがって，

$v^{\prime}=Ke^{-\frac{k}{m}t}$

$v^{\prime}=v-\dfrac{mg}{k}$を戻して

$v-\dfrac{mg}{k}=Ke^{-\frac{k}{m}t}$

$\therefore　v=\dfrac{mg}{k}+Ke^{-\frac{k}{m}t}$　(答)

(3)　(2)と同様に変形していく．

$\dfrac{dq}{dt}=-\dfrac{1}{RC}(q-CE)$

$q^{\prime}=q-CE$とおいて

$\dfrac{dq^{\prime}}{dt}=-\dfrac{1}{RC}q^{\prime}$

したがって，

$q^{\prime}=Ke^{-\frac{1}{RC}t}$

$q^{\prime}=q-CE$を戻して

$q-CE=Ke^{-\frac{1}{RC}t}$

$q=CE+Ke^{-\frac{1}{RC}t}$　(答)