$\dfrac{dy}{dt}=\lambda y$型の微分方程式微分方程式を解く[やや難]

$\dfrac{dy}{dt}=\lambda y$型の微分方程式

$y$が$t$の関数であるとする.$\lambda$を定数としたとき,$y$は次の微分方程式を満たす.

$\dfrac{dy}{dt}=\lambda y$

このとき,積分定数を$K$とすると,上の微分方程式の解は次のようになる.

$y=Ke^{\lambda t}$

ただし,$e$は自然対数の底である.

上のようになる理由を示しておきましょう.

$\dfrac{dy}{dt}=\lambda y$

について.両辺$y$で割ると

$\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dt}=\lambda$

両辺$t$で積分する.

$\displaystyle{\int{\dfrac{1}{y}}\dfrac{dy}{dt}dt=\lambda\int{}dt}$

$\therefore$ $\displaystyle{\int{\dfrac{1}{y}}dy=\lambda\int{}dt}$

積分定数を$C$として積分計算をすると

$\eqalign{\log{y}&=\lambda t+C\\&=\log{(e^{\lambda t+C})}\\&=\log{(e^{C}\cdot e^{\lambda t})}}$

両辺の真数部分をみて

$y=e^{C}e^{\lambda t}$

$K=e^{C}$とおけば

$y=Ke^{\lambda t}$

問題

次の微分方程式を解け.

(1) $m$を導体棒の質量,$v$を速度,$t$を時刻,$B$が磁束密度の大きさ,$l$は導体棒の長さ,$R$が抵抗であるとき,

$m\dfrac{dv}{dt}=-\dfrac{B^{2}l^{2}}{R}v$

(2) $m$が物体の質量,$v$が速度,$t$が時刻,$k$が正の定数,$g$が重力加速度の大きさであるとき,

$m\dfrac{dv}{dt}=-kv+mg$

(3) $q$がコンデンサーに蓄えらている電荷,$E$は一定の起電力,$R$は抵抗,$t$が時刻,$C$が電気容量のとき,

$R\dfrac{dq}{dt}=-\dfrac{1}{C}q+E$

<解答> 以下,積分定数を$K$とする.

(1) 

$\dfrac{dv}{dt}=-\dfrac{B^{2}l^{2}}{mR}v$

より,

$v=Ke^{-\frac{B^{2}l^{2}}{mR}t}$ (答)

(2) 

$\dfrac{dv}{dt}=-\dfrac{k}{m}(v-\dfrac{mg}{k})$ $\dots (\spadesuit)$

ここで,$v^{\prime}=v-\dfrac{mg}{k}$とおくと,

$\eqalign{\dfrac{dv^{\prime}}{dt}&=\dfrac{d}{dt}(v-\dfrac{mg}{k})\\&=\dfrac{dv}{dt}}$

したがって,$(\spadesuit)$は次のように変形できる.

$\dfrac{dv^{\prime}}{dt}=-\dfrac{k}{m}v^{\prime}$

したがって,

$v^{\prime}=Ke^{-\frac{k}{m}t}$

$v^{\prime}=v-\dfrac{mg}{k}$を戻して

$v-\dfrac{mg}{k}=Ke^{-\frac{k}{m}t}$

$\therefore v=\dfrac{mg}{k}+Ke^{-\frac{k}{m}t}$ (答)

(3) (2)と同様に変形していく.

$\dfrac{dq}{dt}=-\dfrac{1}{RC}(q-CE)$

$q^{\prime}=q-CE$とおいて

$\dfrac{dq^{\prime}}{dt}=-\dfrac{1}{RC}q^{\prime}$

したがって,

$q^{\prime}=Ke^{-\frac{1}{RC}t}$

$q^{\prime}=q-CE$を戻して

$q-CE=Ke^{-\frac{1}{RC}t}$

$q=CE+Ke^{-\frac{1}{RC}t}$ (答)

コメント

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