<解答>
回折格子における強め合いの条件は,上の記事でも解いたように,波長を$\lambda$,格子定数を$d$,整数を$m$とし,光を当てた方向から$\theta$の角度における明線条件は
$\dfrac{d\sin\theta}{\lambda}=m$
$\therefore \sin\theta=\dfrac{m\lambda}{d}$ $\dots (\ast)$
となります.
今回は,回折格子とスクリーンまでの距離$L$が与えられているので,ヤングの実験と同様の近似を行います.
上の記事の経路差の求め方②で説明しています.
ここで,$|\theta|$が小さいときに使える近似式
$\sin\theta \approx \tan\theta$
を用いて
上の図の直角三角形について
$\tan\theta=\dfrac{x}{L}$
$\tan\theta\approx\sin\theta$より
$\sin\theta\approx\dfrac{x}{L}$
これを$(\ast)$の$\sin\theta=\dfrac{m\lambda}{d}$に代入しましょう.
$\dfrac{x}{L}=\dfrac{m\lambda}{d}$
$\therefore$ $x=\dfrac{mL\lambda}{d}$ $\dots (\spadesuit)$
さて,問題にうつりましょう.
$(\spadesuit)$について,$m=1$を代入すると
$x=\dfrac{L\lambda}{d}$
となり,明線の座標は波長によって決まることがわかります.
$m=1$の明線のうち,赤色の座標$x_{\rm R}$と紫色の座標$x_{\rm P}$は次のようになります.
$x_{\rm R}=\dfrac{L\lambda_{\rm R}}{d}$
$x_{\rm P}=\dfrac{L\lambda_{\rm P}}{d}$
差をとって
$\eqalign{x_{\rm R}-x_{\rm P}&=\dfrac{L\lambda_{\rm R}}{d}-\dfrac{L\lambda_{\rm P}}{d}\\&=\dfrac{L}{d}(\lambda_{\rm R}-\lambda_{\rm P})}$
ということで,答えは$x_{\rm R}-x_{\rm P}=\dfrac{L}{d}(\lambda_{\rm R}-\lambda_{\rm P})$
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