上図のように，格子定数$d$の回折格子に白色光を当てると，回折格子より距離$L$離れたスクリーンに3本の明線が観測された．
このうち，回折格子に真正面にある明線は白色で，その両隣りの明線は様々な色に分かれていた．
真正面の明線を$m=0$の明線とし，その両隣りの明線を$m=1$，$m=-1$とする．
$m=0$を原点とし，$m=1$に向かって$x$軸をとる．$m=1$の明線のうち，赤色の明線の座標を$x_{\rm R}$，紫色の明線の座標を$x_{\rm P}$とする．
赤色の波長を$\lambda_{\rm R}$，紫色の波長を$\lambda_{\rm P}$とするとき，$x_{\rm R}-x_{\rm P}$を$d$，$L$，$\lambda_{\rm R}$，$\lambda_{\rm P}$を用いて表せ．
ただし，$L$は$d$に比べて十分小さいものとする．
＜解答＞
回折格子における強め合いの条件は，上の記事でも解いたように，波長を$\lambda$，格子定数を$d$，整数を$m$とし，光を当てた方向から$\theta$の角度における明線条件は
$\dfrac{d\sin\theta}{\lambda}=m$
$\therefore \sin\theta=\dfrac{m\lambda}{d}$ $\dots (\ast)$
となります．
今回は，回折格子とスクリーンまでの距離$L$が与えられているので，ヤングの実験と同様の近似を行います．
上の記事の経路差の求め方②で説明しています．
ここで，$|\theta|$が小さいときに使える近似式
$\sin\theta \approx \tan\theta$
を用いて
上の図の直角三角形について
$\tan\theta=\dfrac{x}{L}$
$\tan\theta\approx\sin\theta$より
$\sin\theta\approx\dfrac{x}{L}$
これを$(\ast)$の$\sin\theta=\dfrac{m\lambda}{d}$に代入しましょう．
$\dfrac{x}{L}=\dfrac{m\lambda}{d}$
$\therefore$ $x=\dfrac{mL\lambda}{d}$ $\dots (\spadesuit)$
さて，問題にうつりましょう．
$(\spadesuit)$について，$m=1$を代入すると
$x=\dfrac{L\lambda}{d}$
となり，明線の座標は波長によって決まることがわかります．
$m=1$の明線のうち，赤色の座標$x_{\rm R}$と紫色の座標$x_{\rm P}$は次のようになります．
$x_{\rm R}=\dfrac{L\lambda_{\rm R}}{d}$
$x_{\rm P}=\dfrac{L\lambda_{\rm P}}{d}$
差をとって
$\eqalign{x_{\rm R}-x_{\rm P}&=\dfrac{L\lambda_{\rm R}}{d}-\dfrac{L\lambda_{\rm P}}{d}\\&=\dfrac{L}{d}(\lambda_{\rm R}-\lambda_{\rm P})}$
ということで，答えは$x_{\rm R}-x_{\rm P}=\dfrac{L}{d}(\lambda_{\rm R}-\lambda_{\rm P})$
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